Analisi matematica di base

Due funzioni entrambe definite in un sottoinsueme A di R hanno derivate uguali in ogni punto di A. a) [tex]\exists c \in \mathbb{R} : f(x) = g(x) + c \quad \forall x \in \mathbb{R}[/tex]? b) Supponendo che [tex]A = ]0,1[ \cup ]1,2[ \cup ]2,3[[/tex] è possibile definire f e g nei punti di ascissa 0, 1, 2, 3 in modo tale che f-g è integrabile secondo Riemann in [0,3]? Per cominciare a rispondere alla prima domanda, ho notato che se hanno derivate uguali in ogni punto di A, le due ...

Ciao a tutti, cercando in rete mi sono imbattuto in questo esercizio che chiede determinare, se esiste, il limite della seguente successione per ricorrenza: a_(n+1) = n - 3^(a_n) a(1)=1 provando a calcolare i primi termini mi sembra di intuire che quelli di indice dispari siano tutti positivi mentre gli altri tutti negativi, e che le rispettive sottosuccessioni possano divergere, ma non riesco a dimostrarlo usando il principio d'induzione. Avete qualche idea? Grazie in anticipo

Si supponga che $lim_(n->+oo) x_n$ sia una successione di numeri reali convergenti al limite $x_0 !=0$ e che i termini $x_n$ siano diversi da $0$ per ogni $n$. Dimostrare che esiste $B>0$ tale che $|x_n|>=B$ per ogni $n$. Vi scrivo un pezzo della mia dimostrazione. Suppongo $x_0>0$. Per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di infinito, $(M,+oo)$ in cui la successione è sempre ...

Buongiorno a tutti. E' il mio primo post, quindi chiedo scusa in anticipo per eventuali errori o dimenticanze. Premetto che ho 62 anni e che da qualche tempo ho deciso di ripassare un po' di matematica, solo per piacere personale e per mantenere la mente più elastica possibile. Attualmente sto ripassando su un testo universitario gli argomenti di base, in particolare gli insiemi. Mi sono imbattuto in questo esercizio che da qualche tempo ...non mi fa dormire! Espongo: Dati i seguenti ...

Sia $A={arcsinx+arcsiny<=pi/2}$. Calcola $\int int (1+y-x) dxdy$ in A. Allora, l'arcoseno limita x e y tra $-1$ e $1$ con codominio tra $-pi/2$ e $pi/2$. Dal dominio si ricava $y<=sqrt(1-x^2)$. Non sono sicura degli estremi di integrazione. La y dovrebbe essere compresa tra $-1$ e $sqrt(1-x^2)$? x invece tra $-1$ e $1$?

Stavo ripassando alcuni teoremi relativi alle derivate e non mi è chiarissimo il criterio di derivabilità (quello che non usa il limite del rapporto incrementale per stabilire la dericabilità della funzione in un punto $x_0$). In particolare, il criterio dice che: 1) se $f(x)$ è continua in $[a,b]$; 2) derivabile in $(a,b)$ a eccezione al più di un punto $x_0 in (a,b)$ 3) risulta $lim_(x->x_0^-) f'(x) = lim_(x->x_0^+) f'(x) = l$, allora la funzione è derivabile in ...

Il mio libro dà questa definizione: sia $f: AsubeRR -> RR$ con $x_0 in A$ e $x_0$ punto di accumulazione per la funzione. La funzione si dice continua quando $lim_(x->x_0) f(x)= f(x_0)$. Poi però dà come esempio $x/|x|$ e si scrive che è discontinua in $0$, quando dalla definizione mi sembra di capire che per valutare la continuità di un punto $x_0$ è necessario che quel punto appartenga al dominio (e allora $x/|x|$ dovrebbe essere ...

Ho questa definizione negli appunti che non capisco: sia $f: X sube RR^2 -> RR$ una funzione di classe $C^1$, $X$ convesso. $f$ si dice globalmente convessa se: $f(x_2,y_2) + \grad f(x_2,y_2) * (x_2-x_1, y_2-y_1) <= f(x_1,y_1)$, per ogni $(x_1,y_1), (x_2,y_2) in X$. Il membro a sinistra dell'uguaglianza sarebbe un piano passante per $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ (scriverei pure parallelo al piano $Oxy$ perché un piano passante per due punti non mi sembra ben determinato, almeno intuitivamente)? In ...

Ciao, Ho un dubbio su un passaggio di questo esercizio in cui dovrei calcolare il valore della serie: $\sum_{n=0}^∞ 3/(10)^n$ Riporto alcuni dei passaggi svolti dal mio professore: $\sum_{n=0}^∞ 3/(10)^n = 3*\sum_{n=1}^∞ (1/10)^n = 3*(\sum_{n=0}^∞ (1/10)^n - 1) = ... = 1/3$ Perché, nel primo passaggio, quando si porta la costante fuori dalla sommatoria, l'indice di inizio di quest'ultima viene cambiato in 1? Non riesco proprio a capirlo, mentre per il resto dei passaggi che portano al risultato mi è tutto chiaro Gradirei una spiegazione, grazie in anticipo

Dai miei appunti ho questa definizione di classe $C^2$: sia $f: X sube RR^2 -> RR$ una funzione. Una funzione si dice di classe $C^2(X)$ se è derivabile due volte e se risultano continue le sue derivate parziali seconde. Ma quindi la funzione $f(x,y) = sqrt(x^2+y^2)$ è di classe $C^2$? A me verrebbe da dire di no, perché dalla definizione mi sembra di capire che le derivate parziali seconde debbano essere continue in tutto il dominio della funzione originaria. Il dominio ...

Stavo riflettendo sul fatto che $x^n$, all'aumentare di $n$, diventa sempre più schiacciata sull'asse $x$ in un intorno di $0$, e ciò significa che in $-epsilon<0<epsilon$, con $epsilon$ "molto piccolo", $f'(x_0)$ tende ad essere sempre più basso, con $x_0 in -epsilon<0<epsilon$. Detto in altre parole, il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $x^n$, in un intorno di $0$ "sufficientemente ...

Buongiorno, ho riscontrato difficoltà nel calcolare il volume di questo compatto: $A= \{(x,y,z) \in R^3: 2x^2 -1 \leq 3y^2 + 5z^2 \leq x^2 + 3 \}$ A dovrebbe essere l'intersezione di un'iperboloide a due falde e di un'iperboloide a 1 falda. La prima cosa da fare immagino sia effettuare un cambio di coordinate, utilizzando le cilindriche riscalate, ma in questo caso non saprei come procedere. Avete qualche consiglio? Grazie in anticipo

Buongiorno, qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi con questo problema?? L'esercizio chiede se l'insieme $ H={(x,y) in RR^2 |-1 <= x^3+xy+y^3 <= 1}$ è compatto. L'insieme è chiaramente chiuso e graficamente risulta non limitato e quindi non compatto ma non riesco a dimostrarlo analiticamente.

Salve a tutti, ho un dubbio inerente questo esercizio. Bisogna dimostrare per induzione che: $\sum_{k=-n}^n k^3=0$ Per il primo termine risulterebbe verificato $-1^3+0^3+1^3=0$ Non so se abbia sviluppato un'idea giusta, ma concettualmente mi vien da dire che sommando termini opposti, ovviamente si ottiene lo zero. Però non so come scriverlo. Credo di sbagliare gravemente dicendo che, per $n+1$ potrei scrivere la sommatoria in modo da ricondurmi a ...

Salve. Recentemente mi sono imbattuto sulla risoluzione degli integrali tripli e ho fondamentalmente notato che si può risalire agli estremi di integrazione di un dato insieme di integrazione per via puramente algebrica (ponendo bene le condizioni di esistenza di tuttw le funzioni che vengono fuori con i calcoli) senza il bisogno di rappresentare il dominio graficamente. Però ciò non mi torna nel caso del volume di un anello sferico usando le coordinate cilindriche (so quale è il risultato, ma ...

Buongiorno a tutti. Ho da calcolare la serie di Fourier della funzione di forma: $f(x) = { ( x, 0<=x<=pi ),( -pi, pi<x<2pi ):} $ Ottengo una soluzione che posso scrivere in queste due forme (tralasciando al momento estremi e punto di discontinuità): 1) $-pi/2+1/pi \sum_{n = 1}^{\infty}((-1+(-1^n))cosnx)/n^2 + \sum_{n = 1}^{\infty}(1-2(-1)^nsinnx)/n$ 2) $-pi/2 + 1/pi \sum_{n = 1}^{\infty}((cospin-1)cosnx)/n^2 + \sum_{n = 1}^{\infty}(1-2(-1)^nsinnx)/n$ Ora, la soluzione mi viene invece data come: 3) $-pi/4 - 2/pi \sum_{n = 1}^{\infty}(cosnx)/n^2 + \sum_{n = 1}^{\infty}(1-2(-1)^nsinnx)/n$ Le domande quindi sono: La 1 e la 2 sono soluzioni corrette e scritte in modo corretto del problema? La 3 è una soluzione corretta scritta in modo corretto? A ...

Buonasera, vorrei chiedere un aiuto riguardo questo passaggio Che rimane per me incomprensibile, qualcuno saprebbe darmi una mano? Lo ringrazierei molto

Considero l'insieme $C = A uu B$, dove: $A = {x in RR : 0<=x<2}$ $B = {x in RR : x = 2 + 1/n; n in NN \ {0}}$. Nel libro si afferma che i punti interni di $C$ sono $(0,2)$. Per definizione, un punto si dice interno all'insieme quando appartiene all'insieme ed esiste un suo intorno completo contenuto nell'insieme. Siccome i punti di $B$ sono tutti isolati, questo implica che non esistano intorni completi tutti contenuti in $B$? Però questo vale per ogni punto isolato, e ...

Buongiorno a tutti, sto riscontrando alcuni problemi nella risoluzione del seguente problema: Si consideri la seguente equazione non lineare $sqrt(x-1)-e^(ax)=0$ dipendente dal parametro a. Determinare i valori di a per i quali l'equazione ammette radici reali. Non so bene come muovermi dopo aver determinato il dominio. Sapreste aiutarmi?

Salve a tutti, vorrei chiedere conferma riguardo la risoluzione di un esercizio che prevede il calcolo dell'area del dominio limitato dalla curva $ gamma $ espressa in coordinate polari da: $ rho = sqrt (2- sin (phi)) $ per $phi = [0, 2pi] $ La parametrizzazione della curva è quindi data da: $ x(phi) = sqrt (2- sin(phi)) cos (phi) $ $ y(phi) = sqrt (2- sin(phi)) sin (phi) $ Il dominio è allora descritto da: $ D= {(rho, phi) : 0<= rho <= sqrt (2- sin(phi)), 0<= phi <= 2pi $ Per calcolare l'area racchiusa allora si può calcolare l'integrale doppio della funzione 1 sul dominio D?