Isomorfismi tra campi finiti
Stabilire se $\mathbb{F}_(125)[sqrt(2)]$ è isomorfo a $\mathbb{F}_(125)[sqrt(3)]$ ed $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]$ è isomorfo a $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$.
Per i primi due ho notato che $\mathbb{F}_(125)$ non contiene $\mathbb{F}_(25)$ per cui i polinomio $x^2-2$ e $x^2-3$ sono irriducibili su $\mathbb{F}_(125)$ perciò $\mathbb{F}_(125)[sqrt(2)]$ e $ \mathbb{F}_(125)[sqrt(3)]$ sono entrambi isomorfi a $\mathbb{F}_(5^6)$.
Per quanto riguarda $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]$ e $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$ mi da il suggerimento di determinare quante radici ha il polinomio $x^2-2$ in $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$, ma $\mathbb{F}_(25)$ sarebbe il campo di spezzamento sia di $x^2-2$ che di $x^2-3$ quindi $2$ radici (a parte che per questo in teoria sarebbe $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]=\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]=\mathbb{F}_(25)$), quindi non capisco se sono isomorfi oppure sono uguali, se qualcuno mi chiarisse questo fatto grazie.
Per i primi due ho notato che $\mathbb{F}_(125)$ non contiene $\mathbb{F}_(25)$ per cui i polinomio $x^2-2$ e $x^2-3$ sono irriducibili su $\mathbb{F}_(125)$ perciò $\mathbb{F}_(125)[sqrt(2)]$ e $ \mathbb{F}_(125)[sqrt(3)]$ sono entrambi isomorfi a $\mathbb{F}_(5^6)$.
Per quanto riguarda $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]$ e $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$ mi da il suggerimento di determinare quante radici ha il polinomio $x^2-2$ in $\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]$, ma $\mathbb{F}_(25)$ sarebbe il campo di spezzamento sia di $x^2-2$ che di $x^2-3$ quindi $2$ radici (a parte che per questo in teoria sarebbe $\mathbb{F}_(25)[sqrt(2)]=\mathbb{F}_(25)[sqrt(3)]=\mathbb{F}_(25)$), quindi non capisco se sono isomorfi oppure sono uguali, se qualcuno mi chiarisse questo fatto grazie.
Risposte
Qualcuno che mi chiarisce questa cosa, grazie
A me sembra che tu non abbia una definizione operativa di $mathbb(F)_(25)$. Di solito se $q$ è una potenza di un primo quando si scrive $mathbb(F)_q$ si intende un qualsiasi campo con $q$ elementi. Questo non crea ambiguità perché tutti i campi di $q$ elementi sono tra loro isomorfi (e questo credo tu lo sappia).
Ora siccome $x^2-2$ e $x^2-3$ sono irriducibili in $mathbb(F)_5[x]$, i due campi $A=mathbb(F)_5[x]//(x^2-2)$ e $B=mathbb(F)_5[x]//(x^2-3)$ hanno $25$ elementi quindi sono isomorfi. Questo implica che se $F$ è un qualsiasi campo con $25$ elementi allora esistono $a,b in F$ tali che $a^2=2$ e $b^2=3$.
Poi le tue domande hanno un problema di fondo che è la notazione, il/la tuo/a docente sta usando la notazione $F[sqrt(2)]$ a sproposito, visto l'altro tuo post. Quando si scrive $F[sqrt(2)]$ si intende sempre l'anello generato da $F$ e da $sqrt(2)$ (dove $sqrt(2)$ indica un qualsiasi elemento $a$ tale che $a^2=2$ e si prende in una fissata estensione di $F$, che può essere anche lo stesso $F$) mentre a me sembra che per te e il/la docente $F[sqrt(2)]$ indichi $F[x]//(x^2-2)$, che è un oggetto completamente diverso se $x^2-2$ è riducibile in $F[x]$.
Ora siccome $x^2-2$ e $x^2-3$ sono irriducibili in $mathbb(F)_5[x]$, i due campi $A=mathbb(F)_5[x]//(x^2-2)$ e $B=mathbb(F)_5[x]//(x^2-3)$ hanno $25$ elementi quindi sono isomorfi. Questo implica che se $F$ è un qualsiasi campo con $25$ elementi allora esistono $a,b in F$ tali che $a^2=2$ e $b^2=3$.
Poi le tue domande hanno un problema di fondo che è la notazione, il/la tuo/a docente sta usando la notazione $F[sqrt(2)]$ a sproposito, visto l'altro tuo post. Quando si scrive $F[sqrt(2)]$ si intende sempre l'anello generato da $F$ e da $sqrt(2)$ (dove $sqrt(2)$ indica un qualsiasi elemento $a$ tale che $a^2=2$ e si prende in una fissata estensione di $F$, che può essere anche lo stesso $F$) mentre a me sembra che per te e il/la docente $F[sqrt(2)]$ indichi $F[x]//(x^2-2)$, che è un oggetto completamente diverso se $x^2-2$ è riducibile in $F[x]$.
"Martino":
mentre a me sembra che per te e il/la docente $F[sqrt(2)]$ indichi $F[x]//(x^2-2)$, che è un oggetto completamente diverso se $x^2-2$ è riducibile in $F[x]$.
Allora guarda io ti parlo per me, io so che se $alpha$ è una radice di $f$ irriducibile allora $F[x]//(f)$ è isomorfo a $F[alpha]$. Ora tu giustamente dici che $f$ può essere riducibile in $F[x]$, allora le cose cambiano. Però rimanendo sul nostro esempio se $F$ è il campo con $25$ elementi come hai detto sappiamo (dato che $F$ campo di spezzamento di $x^2-2$) che esiste $ainF$ tale che $a^2=2$ quindi $F[sqrt(2)]=F$ giusto? (stessa cosa $F[sqrt(3)]=F$). E quindi $F[sqrt(3)]$ e $F[sqrt(2)]$ sono isomorfi attraverso l'identità.
Sì io direi così, il problema è che se dici così al tuo docente ti dirà che è sbagliato perché per lui $F[sqrt(2)]$ indica il quoziente $F[x]//(x^2-2)$, che non è isomorfo a $F$ in nessun caso. È invece isomorfo a $F xx F$ se $x^2-2$ è riducibile in $F[x]$.
"Martino":
$F[x]//(x^2-2)$, che non è isomorfo a $F$ in nessun caso. È invece isomorfo a $F xx F$ se $x^2-2$ è riducibile in $F[x]$.
Ah tu dici che in $F$ (campo con $25$ elementi) $x^2-2=(x-\epsilon)(x+\epsilon)$ abbiamo che gli ideali $I=(x-\epsilon)$ e $J=(x+\epsilon)$ sono primi tra loro (poichè $(x+\epsilon)-(x-\epsilon)=2\epsiloninI+J$ ma $2\epsilon$ è invertibile in quanto elemento non nullo del campo $F$ e quindi $I+J=F[X]$) e allora posso usare il teorema cinese del resto $F[x]_(/(x^2-2))cong F[x]_(/(x+\epsilon))xxF[x]_(/(x-\epsilon))congFxxF$ quindi faccio lo stesso analogo discorso per $F[x]_(/(x^2-3))congFxxF$ ma allora $F[x]_(/(x^2-2))$ è isomorfo a $F[x]_(/(x^2-3))$
Sì certo.
"Martino":
Sì certo.
Quindi ricapitolando se $f$ è irriducibile e $alpha$ radice di $f$ allora $K[X]_(/(f))$ e $K[alpha]$ sono la stessa cosa (ovvero sono isomorfi) mentre se $f$ è riducibile su $K[X]$ allora $K[X]_(/(f))$ e $K[alpha]$ sono due cose completamente diverse (non isomorfe) e quindi non posso pensare di lavorare con una e "trasferire" gli stessi risultati all'altra, ma devo tipo ragionare separatamente.
Sì concordo con quanto dici, ma il tuo docente non concorderebbe.
"Martino":
Sì concordo con quanto dici, ma il tuo docente non concorderebbe.
Allora io non so precisamente se questi esercizi li abbia scritti lui o un prof precedente, però in caso come faccio?
Ce ad essempio io ho trovato questo nelle dispense:
Mi sembra una confusione tremenda, usa la stessa notazione per due cose diverse. Riguardo alla tua domanda "come faccio?" la risposta è semplicissima: parla col tuo docente, vai a ricevimento, mandagli una mail. Come facciamo noi del forum a risolvere confusioni notazionali delle sue dispense?
"Martino":
Riguardo alla tua domanda "come faccio?" la risposta è semplicissima: parla col tuo docente, vai a ricevimento, mandagli una mail.
Mi sembra un po' difficile dato che domani ho lo scritto di algebra
. Però vabbe grazie di tutto.
Ok comunque te l'ho detto giorni fa di contattare il docente 
buona fortuna.
buona fortuna.
"Martino":
Ok comunque te l'ho detto giorni fa di contattare il docente
No vabbe ma per quella questione (quella del generatore) infatti l'abbiamo contattato ed effettivamente anche a lui risultava un po' ambigua come domanda e ha detto di lasciar perdere che non ci sarà mai una cosa del genere al compito. Per questo credo che forse gli esercizi non li abbia scritti effettivamente lui, ma nn so.
Va beh comunque scrivergli adesso non ti costa niente, ha fino a stanotte per risponderti. Se non ti risponde amen.
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