[Successione] Ricorrenza Lineare Non Omogenea
Buonasera a tutta la fantastica Community!
Dunque, stò affrontando il seguente esercizio e devo dire che mi sta dando particolari problemi. Il testo è il seguente:
[size=150]"[/size] Si consideri la successione data da
$ { ( a_0=1 ),( a_1 = 1 ),( a_n=a_(n-2)+n ):} $
A) Trovare, motivando la risposta, il più piccolo numero $ n_0 in mathbb(N) $ tale che, per ogni $ n >= n_0 $, vale $ a_n >= 2n $.
B) Trovare una formula per $a_n$. [size=150]"[/size]
Per quanto riguarda il punto A) attualmente non lo stò affrontando, mi stò dedicando più alle successioni in se.
Quindi parliamo del punto B):
Dunque, la formula $ a_n=a_(n-2)+n $ è una Ricorrenza Lineare Non Omogena, ossia della forma $ a_n = c_1a_(n-1) + cdots + c_ra_(n-r)+f(n) $ dove $ c_1, ... , c_r $ sono delle costanti reali e $ f $ è una funzione di $ n $.
La soluzione generale di una relazione di ricorrenza lineare si ottiene aggiungendo una soluzione particolare alla soluzione generale della sua parte omogena.
Innanzitutto, dobbiamo trovare il Polinomio Caratteristico della Parte Omogenea.
Quindi:
$ a_n=a_(n-2) rArr x^2 =1rArr x=+- 1 $, allora la soluzione della Parte Omogenea sarà della forma
$ A\cdot 1^n + B \cdot (-1)^n $ con $ A $ e $ B $ costanti arbitrarie.
Adesso dobbiamo trovare una soluzione particolare della relazione $ a_n=a_(n-2)+n $
Ecco adesso iniziano i problemi!
Dalla teoria so che si possono prospettare 3 casi:
1) $ f(n) = cq^n $ con $ c $ costante e $ q != 0 $.
2) $ f(n) $ è un polinomio in $ n $ di grado $ k $.
3) $ f(n) $ è una costante. (Derivazione dei casi precedenti, $ q = 1 $ e $ k = 0 $)
Dato che $ f(n) = n $ direi che siamo nel caso numero 3, ed esso si divide in altri 2 sottocasi:
3a) Se 1 non è radice del polinomio caratteristico, allora ammette una soluzione costante.
3b) Se 1 è radice di molteplicità $ mu $ del polinomio caratteristico, allora ammette una soluzione del tipo $ alphan^mu $
Dunque, ci troviamo nel caso 3b) in quanto una radice del nostro polinomio caratteristico è proprio 1 e $ mu = 1 $.
A questo punto sostituisco $ alphan $ in $ a_n=a_(n-2)+n $ ($ alphan = a_n $)
Le costanti $ alpha_0,...,alpha_k $ si determinano imponendo che la successione $ {a_n}_n $ verifichi la relazione.
Ottengo quindi
$ alphan = alpha(n-2) + n rArr alphan=alphan -2alpha + n rArr alphan = -2alpha +(alpha+1)n $ ed eguagliando membro a membro ottengo che
$ alpha = alpha -1 rArr 0 = -1 $ Impossibile!
Non riesco a capire purtroppo, la teoria che sono riuscito a trovare su internet è abbastanza confusa e non esauriente. Sapreste darmi una mano o dirmi dove sbaglio?
Grazie in anticipo!
Ciao
Dunque, stò affrontando il seguente esercizio e devo dire che mi sta dando particolari problemi. Il testo è il seguente:
[size=150]"[/size] Si consideri la successione data da
$ { ( a_0=1 ),( a_1 = 1 ),( a_n=a_(n-2)+n ):} $
A) Trovare, motivando la risposta, il più piccolo numero $ n_0 in mathbb(N) $ tale che, per ogni $ n >= n_0 $, vale $ a_n >= 2n $.
B) Trovare una formula per $a_n$. [size=150]"[/size]
Per quanto riguarda il punto A) attualmente non lo stò affrontando, mi stò dedicando più alle successioni in se.
Quindi parliamo del punto B):
Dunque, la formula $ a_n=a_(n-2)+n $ è una Ricorrenza Lineare Non Omogena, ossia della forma $ a_n = c_1a_(n-1) + cdots + c_ra_(n-r)+f(n) $ dove $ c_1, ... , c_r $ sono delle costanti reali e $ f $ è una funzione di $ n $.
La soluzione generale di una relazione di ricorrenza lineare si ottiene aggiungendo una soluzione particolare alla soluzione generale della sua parte omogena.
Innanzitutto, dobbiamo trovare il Polinomio Caratteristico della Parte Omogenea.
Quindi:
$ a_n=a_(n-2) rArr x^2 =1rArr x=+- 1 $, allora la soluzione della Parte Omogenea sarà della forma
$ A\cdot 1^n + B \cdot (-1)^n $ con $ A $ e $ B $ costanti arbitrarie.
Adesso dobbiamo trovare una soluzione particolare della relazione $ a_n=a_(n-2)+n $
Ecco adesso iniziano i problemi!
Dalla teoria so che si possono prospettare 3 casi:
1) $ f(n) = cq^n $ con $ c $ costante e $ q != 0 $.
2) $ f(n) $ è un polinomio in $ n $ di grado $ k $.
3) $ f(n) $ è una costante. (Derivazione dei casi precedenti, $ q = 1 $ e $ k = 0 $)
Dato che $ f(n) = n $ direi che siamo nel caso numero 3, ed esso si divide in altri 2 sottocasi:
3a) Se 1 non è radice del polinomio caratteristico, allora ammette una soluzione costante.
3b) Se 1 è radice di molteplicità $ mu $ del polinomio caratteristico, allora ammette una soluzione del tipo $ alphan^mu $
Dunque, ci troviamo nel caso 3b) in quanto una radice del nostro polinomio caratteristico è proprio 1 e $ mu = 1 $.
A questo punto sostituisco $ alphan $ in $ a_n=a_(n-2)+n $ ($ alphan = a_n $)
Le costanti $ alpha_0,...,alpha_k $ si determinano imponendo che la successione $ {a_n}_n $ verifichi la relazione.
Ottengo quindi
$ alphan = alpha(n-2) + n rArr alphan=alphan -2alpha + n rArr alphan = -2alpha +(alpha+1)n $ ed eguagliando membro a membro ottengo che
$ alpha = alpha -1 rArr 0 = -1 $ Impossibile!
Non riesco a capire purtroppo, la teoria che sono riuscito a trovare su internet è abbastanza confusa e non esauriente. Sapreste darmi una mano o dirmi dove sbaglio?
Grazie in anticipo!
Ciao
Risposte
Siccome $f(n)=n$ mi sembra che sei nel caso 2 (non nel caso 3) con $k=1$, no?
"Martino":
Siccome $f(n)=n$ mi sembra che sei nel caso 2 (non nel caso 3) con $k=1$, no?
Non saprei, perchè anche se $ k = 1 $, $ n $ non so se è corretto definirlo polinomio $ f(n) = n $.
Si potrebbe scrivere come $ f(n) = n -= alpha_0n^0 + alpha_1n^1 $ con $alpha_0 = 0 $, il che ci riporta proprio al caso 3b).
Che ne pensi?
Certo che \(\displaystyle f(n) = n \) è un polinomio in \(\displaystyle n \).
In ogni caso mi sembra che tu ti stia perdendo in un bicchier d'acqua. La teoria che stai usando è certo utile, ma non risulta il metodo più semplice per risolvere quella successione. A mio avviso conviene considerare la successione degli elementi pari e la successione degli elementi dispari come due successioni differenti e risolverle indipendentemente.
In ogni caso mi sembra che tu ti stia perdendo in un bicchier d'acqua. La teoria che stai usando è certo utile, ma non risulta il metodo più semplice per risolvere quella successione. A mio avviso conviene considerare la successione degli elementi pari e la successione degli elementi dispari come due successioni differenti e risolverle indipendentemente.
"vict85":
Certo che \(\displaystyle f(n) = n \) è un polinomio in \(\displaystyle n \).
In ogni caso mi sembra che tu ti stia perdendo in un bicchier d'acqua. La teoria che stai usando è certo utile, ma non risulta il metodo più semplice per risolvere quella successione. A mio avviso conviene considerare la successione degli elementi pari e la successione degli elementi dispari come due successioni differenti e risolverle indipendentemente.
Come si potrebbe fare? Comunque uso questa teoria perchè è l'unica che ho trovato sinceramente
A mio avviso continua pure con la tua teoria. Concordo che c'è un metodo più diretto in questo caso particolare ma magari se ne parla dopo. Ps. Come già abbiamo detto $n$ è un polinomio in $n$ di grado 1. Non è una costante.
Ragazzi sono ancora in alto mare...
Dunque, arrivato al punto di dover trovare la Soluzione Particolare mi trovo davanti le sopra citate 3 possibilità.
Come mi avete fatto notare $ f(n) = n $ è un polinomio di grado 1 (Più che un errore è un orrore
) quindi ricardo nel caso 2) che a sua volta ha 2 sotto casi:
2a) Se 1 non è una radice del polinomio caratteristico, una soluzione particolare è un polinomio di grado $ k $ del tipo $ a_n = alpha_0 + alpha_1n + cdots + alpha_kn^k $.
2b) Se 1 è una radice del polinomio caratteristico di molteplicità $ mu $, una soluzione particolare è una soluzione del tipo $ a_n = n^mu(alpha_0 + alpha_1n + cdots + alpha_kn^k) $
Quindi sono nel caso 2b) e $ mu = 1 $. La mia soluzione particolare sarà della forma $ a_n = n(alpha_0 + alpha_1n) $.
Adesso sostituisco $ n(alpha_0 + alpha_1n) $ in $ a_n=a_(n-2)+n $ ottenendo:
$ (alpha_0 + alpha_1n)n = n[alpha_0 + alpha_1(n-2)] +n rArr $
$ rArr alpha_0n + alpha_1n^2 = alpha_0n - 2alpha_1n + n + alpha_1n^2 rArr $
$ rArr alpha_0n + alpha_1n^2 = (alpha_0 - 2alpha_1 + 1)n + alpha_1n^2$
Ora eguagliando componente a componente ottengo:
$ { ( alpha_0 = alpha_0 -2alpha_1 +1 ),( a_1 = alpha_1 ):} rArr ( alpha_1 = 1/2 ) $
Quindi la Soluzione Particolare sarà della forma $ 1/2n^2 $
Mettendo insieme i pezzi otteniamo la Soluzione Generale:
$ a_n = A + B(-1)^n +1/2n^2 $
Ora per trovare A e B dobbiamo far si che le condizioni iniziali siano verificate, quindi:
$ { ( a_0 = 1 = A + B(-1)^0 +0 ),( a_1 = 1 = A + B(-1)^1 +1/2):} rArr { ( A = 3/4 ),( B = 1/4):} $
Finalmente, eccoci arrivati alla formula di $ a_n $!
$a_n = 3/4 + 1/4(-1)^n + 1/2n^2 $
Però se provo a verificare la forumula che ho trovato con i valori "reali" della successione, essi non combaciano!
Verifica:
$ { ( (n=1) rArr 3/4 - 1/4 + 1/2 =1 =a_1 ),( (n=2) rArr 3/4 + 1/4 + 2 = 3 =a_2 ),( (n=3) rArr 3/4 - 1/4 + 9/2 = 5 =a_3 ):} $
$a_3 = 4 $!!!!!!!!
Sapreste darmi qualche dritta? Vi linko la teoria che stò usando:
Pagine 6-13 $rArr$ Link Fogli Teoria
Dunque, arrivato al punto di dover trovare la Soluzione Particolare mi trovo davanti le sopra citate 3 possibilità.
Come mi avete fatto notare $ f(n) = n $ è un polinomio di grado 1 (Più che un errore è un orrore
) quindi ricardo nel caso 2) che a sua volta ha 2 sotto casi:2a) Se 1 non è una radice del polinomio caratteristico, una soluzione particolare è un polinomio di grado $ k $ del tipo $ a_n = alpha_0 + alpha_1n + cdots + alpha_kn^k $.
2b) Se 1 è una radice del polinomio caratteristico di molteplicità $ mu $, una soluzione particolare è una soluzione del tipo $ a_n = n^mu(alpha_0 + alpha_1n + cdots + alpha_kn^k) $
Quindi sono nel caso 2b) e $ mu = 1 $. La mia soluzione particolare sarà della forma $ a_n = n(alpha_0 + alpha_1n) $.
Adesso sostituisco $ n(alpha_0 + alpha_1n) $ in $ a_n=a_(n-2)+n $ ottenendo:
$ (alpha_0 + alpha_1n)n = n[alpha_0 + alpha_1(n-2)] +n rArr $
$ rArr alpha_0n + alpha_1n^2 = alpha_0n - 2alpha_1n + n + alpha_1n^2 rArr $
$ rArr alpha_0n + alpha_1n^2 = (alpha_0 - 2alpha_1 + 1)n + alpha_1n^2$
Ora eguagliando componente a componente ottengo:
$ { ( alpha_0 = alpha_0 -2alpha_1 +1 ),( a_1 = alpha_1 ):} rArr ( alpha_1 = 1/2 ) $
Quindi la Soluzione Particolare sarà della forma $ 1/2n^2 $
Mettendo insieme i pezzi otteniamo la Soluzione Generale:
$ a_n = A + B(-1)^n +1/2n^2 $
Ora per trovare A e B dobbiamo far si che le condizioni iniziali siano verificate, quindi:
$ { ( a_0 = 1 = A + B(-1)^0 +0 ),( a_1 = 1 = A + B(-1)^1 +1/2):} rArr { ( A = 3/4 ),( B = 1/4):} $
Finalmente, eccoci arrivati alla formula di $ a_n $!
$a_n = 3/4 + 1/4(-1)^n + 1/2n^2 $
Però se provo a verificare la forumula che ho trovato con i valori "reali" della successione, essi non combaciano!
Verifica:
$ { ( (n=1) rArr 3/4 - 1/4 + 1/2 =1 =a_1 ),( (n=2) rArr 3/4 + 1/4 + 2 = 3 =a_2 ),( (n=3) rArr 3/4 - 1/4 + 9/2 = 5 =a_3 ):} $
$a_3 = 4 $!!!!!!!!
Sapreste darmi qualche dritta? Vi linko la teoria che stò usando:
Pagine 6-13 $rArr$ Link Fogli Teoria
Nota che la funzione \(\displaystyle f \) può avere qualsiasi forma. Infatti la successione \[ \begin{cases} a_0 = 1 \\ a_1 = 1 \\ a_n = a_{n-2} + e^{n+4} + \cos(n\pi) \end{cases} \] è ben definita e non rientra in nessuno dei tuo tre casi. Semplicemente il tuo professore ha analizzato solo quei particolari casi.
I tuoi calcoli comunque sono sbagliati. Poniamo come soluzione \(\displaystyle a_n = n(\alpha_0 + \alpha_1n) \), allora
\[ \begin{align} a_n &= a_{n-2} + n \\
n(\alpha_0 + \alpha_1n) &= (n-2)\bigl[\alpha_0 + \alpha_1(n-2)\bigr] + n \end{align} \]
e non \[ \begin{align} n(\alpha_0 + \alpha_1n) &= n\bigl[\alpha_0 + \alpha_1(n-2)\bigr] + n \end{align}\,. \]
Inoltre ti ricordo che nelle equazioni \(\displaystyle f(n) + g(n) = f(n) + h(n) \Leftrightarrow g(n) = h(n) \). Insomma avresti dovuto fare un po' di semplificazioni prima di arrivare al sistema. Ovviamente quel sistema avrebbe dovuto trovare entrambi i coefficienti e non solo \(\displaystyle \alpha_1 \), ma questo è prodotto dall'errore che ho detto prima.
I tuoi calcoli comunque sono sbagliati. Poniamo come soluzione \(\displaystyle a_n = n(\alpha_0 + \alpha_1n) \), allora
\[ \begin{align} a_n &= a_{n-2} + n \\
n(\alpha_0 + \alpha_1n) &= (n-2)\bigl[\alpha_0 + \alpha_1(n-2)\bigr] + n \end{align} \]
e non \[ \begin{align} n(\alpha_0 + \alpha_1n) &= n\bigl[\alpha_0 + \alpha_1(n-2)\bigr] + n \end{align}\,. \]
Inoltre ti ricordo che nelle equazioni \(\displaystyle f(n) + g(n) = f(n) + h(n) \Leftrightarrow g(n) = h(n) \). Insomma avresti dovuto fare un po' di semplificazioni prima di arrivare al sistema. Ovviamente quel sistema avrebbe dovuto trovare entrambi i coefficienti e non solo \(\displaystyle \alpha_1 \), ma questo è prodotto dall'errore che ho detto prima.
Eccomi di nuovo qui.
Dunque, ringrazio tantissimo vict85 per il suo aiuto.
Vi posto la risoluzione dell'esercizio
Grazie di cuore per la risoluzione dell'esercizio!!!!
Adesso penserò a come fare il punto A)
Dunque, ringrazio tantissimo vict85 per il suo aiuto.
Vi posto la risoluzione dell'esercizio
"Dr. Akim":
Dunque, arrivato al punto di dover trovare la Soluzione Particolare mi trovo davanti le sopra citate 3 possibilità.
Come mi avete fatto notare $ f(n) = n $ è un polinomio di grado 1 quindi ricardo nel caso 2) che a sua volta ha 2 sotto casi:
2a) Se 1 non è una radice del polinomio caratteristico, una soluzione particolare è un polinomio di grado $ k $ del tipo $ a_n = alpha_0 + alpha_1n + cdots + alpha_kn^k $.
2b) Se 1 è una radice del polinomio caratteristico di molteplicità $ mu $, una soluzione particolare è una soluzione del tipo $ a_n = n^mu(alpha_0 + alpha_1n + cdots + alpha_kn^k) $
Quindi sono nel caso 2b) e $ mu = 1 $. La mia soluzione particolare sarà della forma $ a_n = n(alpha_0 + alpha_1n) $.
Adesso sostituisco $ n(alpha_0 + alpha_1n) $ in $ a_n=a_(n-2)+n $ ottenendo:
$ (alpha_0 + alpha_1n)n = (n-2)[alpha_0 + alpha_1(n-2)] +n -= $
$ -= alpha_0n + alpha_1n^2 = (alpha_0 -4alpha_1+1)n+alpha_1n^2-2alpha_0+4alpha_1 $
Ora eguagliando componente a componente ottengo:
$ { ( alpha_0 -2alpha_1 +1 = alpha_0),( a_1 = alpha_1 ),(-2alpha_0+4alpha_1 = 0):} rArr { ( alpha_0=1/2 ),( alpha_1=1/4 ):}$
Quindi la Soluzione Particolare sarà della forma $ 1/2n + 1/4n^2 $
Mettendo insieme i pezzi otteniamo la Soluzione Generale:
$ a_n = A + B(-1)^n +1/2n+1/4n^2 $
Ora per trovare A e B dobbiamo far si che le condizioni iniziali siano verificate, quindi:
$ { (A + B = 1),( A - B +1/2+1/4=1):} rArr { ( A = 5/8 ),( B = 3/8):} $
Finalmente, eccoci arrivati alla formula di $ a_n $!
$ a_n = 5/8 + 3/8(-1)^n + 1/2n+1/4n^2 $
Verifichiamo i valori ottenuti con questa formula con quelli che otteniamo ricorsivamente!
Verifica:
$ { ( (n=1) rArr 5/8 -3/8 + 1/2 + 1/4 = 1 = a_1 ),( (n=2) rArr 5/8 + 3/8 + 1 + 1 = 3 =a_2 ),( (n=3) rArr 5/8 - 3/8 + 3/2 + 9/4 = 4 =a_3 ):} $ Esatto!
Link della teoria che stò usando:
Pagine 6-13 $ rArr $ Link Fogli Teoria
Grazie di cuore per la risoluzione dell'esercizio!!!!
Adesso penserò a come fare il punto A)
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