Esercizio di ammissione Normale di Pisa

[Terrubik]

Salve a tutti, so che c'è una discussione che raccoglie tutti questi quesiti ma non saprei come postarla li, vi propongo questo quesito, l'ho risolto a metà e non saprei bene come impostarle la fine, a voi

Quesito 5 nella prova di matematica del 1975-1976

"Dimostrare che il prodotto di tre numeri naturali consecutivi non può mai essere un cubo di un numero naturale"
Facoltativo: "dimostrare che il prodotto di k numeri naturali consecutivi non puó essere la potenza k-esima di un numero naturale".

SVOLGIMENTO
1)

imposto cercando di dimostrare che
$ n^3 $ n^3< n^3+3n^2+2n< n^3+3n^2+3n+1 $
Che è effettivamente vera, quindi il prodotto di tre naturali consecutivi è compreso
tra il cubo del primo numero e il cubo del secondo numero
Adesso peró per il caso generale non ho idee se non quella di continuare a provare
sulla falsa riga della dimostrazione che ho appena fatto, mi affido a voi per qualcosa di più elegante.

[gio73]

a questi naturali va escluso lo 0 vero?

[giammaria2]

Dopo ore a scervellarmi, scopro che la soluzione era troppo facile!.
Detto $n$ il primo numero, l'ultimo è $n+k$ e il prodotto dei $k$ numeri è compreso fra $n^k$ ed $(n+k)^k$; detta $p$ la sua radice $k$-esima si ha perciò $n Se $p$ fosse intero sarebbe quindi uno dei fattori e potrei scrivere
$n*(n+1)*...*(p-1)*p*(p+1)* ... *(n+k)=p^k$
Ma questo è assurdo perché sia $p-1$ che $p+1$ non hanno fattori in comune con $p$ e quindi i due membri hanno divisori diversi.

Fra i naturali va escluso lo zero: altrimenti la tesi sarebbe falsa perché il prodotto varrebbe zero, che è potenza di se stesso.

[Sk_Anonymous]

"giammaria":Dopo ore a scervellarmi, scopro che la soluzione era troppo facile!.
Detto $n$ il primo numero, l'ultimo è $n+k$ …...

In verità l'ultimo è $n + (k - 1)$.

[giammaria2]

Verissimo, grazie della correzione. Per fortuna il succo non cambia.