Una simpatica equazione

[Sk_Anonymous]

Risolvere l'equazione :
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}} +\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+x}}} =x\sqrt2$
Buona fortuna ...

[Zero87]

Ho rivisto i miei fogli e ho fatto un errore di calcolo... sul dominio.

Riedito se trovo una soluzione e non risponde nessuno.

[Sk_Anonymous]

Il dominio è $0 Provaci ancora...
Suggerimento: il fatto che sia $0

Cita

Segnala

[giammaria2]

La mia risposta ha il difetto di suddividere il problema in 8 casi, ognuno con 16 soluzioni di cui controllare l'accettabilità. Non ho la pazienza di Giobbe e quindi spero che ciromario indichi una qualche furbata per ridurre drasticamente il lavoro; nel frattempo svolgo uno dei casi e controllo una delle sua soluzioni. Stando al foglio elettronico, dovrebbe essere l'unica accettabile.

Con la sostituzione $x=2cosy$ (con $cosy>=0$) si ha
$sqrt(2+x)=sqrt(2(1+cosy))=sqrt(4cos^2 frac y 2)=2|cos frac y 2|$
e debbo distinguere a seconda del segno del coseno. Se fosse negativo scriverei
$|cos frac y 2|=-cos frac y 2=cos(pi+y/2)$
e poi continuerei come nel caso in cui sia positivo o nullo, in cui si ha
$sqrt(2+sqrt(2+x))=sqrt(2(1+cos frac y 2))=2|cos frac y 4|$
Questa volta non occorre suddividere in casi perché al cambiare del segno di questo coseno si scambiano fra loro le due radici grandi e l'equazione resta invariata. Applicando ancora la bisezione l'equazione diventa
$2|cos frac y 8|+2|sin frac y 8|=2sqrt2cosy$
che obbliga a dividere in 4 casi, a seconda del segno di seno e coseno. Quando tutto è positivo, divido per $2sqrt2$ e scrivo l'equazione nella forma

$cos frac pi 4 cosfrac y 8+sinfrac pi 4sinfrac y 8=cosy$
$cos(pi/4-y/8)=cosy" "=> " "y=+-(pi/4-y/8)+2kpi$
da cui con facili passaggi ottengo
$y=8/9(pi/4+2kpi)" "vv" "y=8/7(-pi/4+2kpi)$
La soluzione $y=8/9*pi/4=40°$ è accettabile perché soddisfa tutte le limitazioni con cui vi siamo arrivati, quindi è soluzione
$x=2cos40°=1,532...$

[adaBTTLS1]

io invece volevo un parere sul perché $x=2$ va escluso dal dominio, dato che in nessun caso viene fuori un radicando negativo.
perché, vi chiederete, questa domanda: in realtà, svolgendo i calcoli in maniera "tradizionale" ottengo $x=2$ come soluzione, anche se da sostituzione diretta risulta evidente che $2+0 != 2 sqrt2$.

[giammaria2]

Effettivamente il dominio è $0<=x<=2$ (chiamiamolo così, anche se la $x>=0$ deriva dal confronto dei segni dei due membri e non dalla loro esistenza); credo che ciromario abbia trascurato gli uguali solo per brevità di scrittura e perché non corrispondevano a soluzioni. Quanto al resto, svolgendo i calcoli in maniera "tradizionale" arrivi a
$-sqrt(2+x)=x^4-4x^2+2$
e devi imporre la condizione che il secondo membro sia negativo; anche senza altri calcoli vedi subito che per $x=2$ non lo è.
E infatti questa sarebbe una soluzione di
$+sqrt(2+x)=x^4-4x^2+2$

[Sk_Anonymous]

Effettivamente quando ho affermato che il dominio è $0 Per esempio prendiamo l'equazione ( @ i più piccini ... ) :
$ \sqrt{3x} +\sqrt{x+6} =6$
II dominio di "realità" dei due radicali è $x>=0$. Se ora si risolve l'equazione con successive elevazioni al quadrato
si giunge a : $x^2-78x+225=0$, le cui radici sono $x_1=3,x_2=75$ ed entrambe verificano la condizione $x>=0$.
Ma di esse solo la prima è realmente soluzione dell'equazione proposta. La seconda è soluzione dell'equazione
" coniugata" $\sqrt{3x}-\sqrt{x+6}=6$