Concorrenza di tre rette

[giammaria2]

Mi chiedo se esiste una dimostrazione sintetica del seguente teorema. Per sintetica intendo non solo di non usare l'analitica ma anche di fare qualcosa di ragionevolmente breve; la dimostrazione che io ho trovato è lunghissima.

$AH$ è sia altezza di $ABC$ che bisettrice di $RhatHS$, essendo $R,S$ su $AB,AC$ rispettivamente. Dimostrare che le rette $AH,BS,CR$ sono concorrenti.

[Sk_Anonymous]

Divido la dimostrazione in due parti (A) e (B). Nella (A) dimostro che se le rette AH, CR, BS formano fascio
(nel senso che appartengono al fascio di centro P [vedi fig.1]), allora risultano congruenti gli angoli RHP e SHP.
Nella seconda dimostro che, viceversa, se è RHP=SHP, allora AH, CR, BS formano fascio.
(A)
Dalla similitudine di BLR e ABP :
(1)${RL}/{AP}={BL}/{BP}$
Dalla similitudine di BLM e BPH :
(2)${BL}/{BP}={LM}/{PH}$
Confrontando (1) e (2) :
(*) ${RL}/{LM}={AP}/{PH}$

Dalla similitudine di CTS e CAP :
(3)${ST}/{AP}={CT}/{CP}$
Dalla similitudine di CTN e CPH :
(4)${CT}/{CP}={TN}/{PH}$
Confrontando (3) e (4) :
(**) ${ST}/{TN}={AP}/{PH}$

Confrontando (*) con (**):
${RL}/{LM}={ST}/{TN}$
Componendo risulta :
(5) ${RL}/{ST}={RM}/{SN}$

Dalla similitudine di RLP e PST:
(A) ${RL}/{ST}={LP}/{PS}$

Applicando Talete alle parallele RM, PH, SN tagliate dalle trasversali BS e BC:
(B) ${LP}/{PS}={MH}/{HN}$

Confrontando (A) e (B):
(6) ${RL}/{ST}={MH}/{HN}$
Infine confrontando (5) e (6) :
${RM}/{SN}={MH}/{HN}$
Quest'ultima relazione ci dice che i triangoli RMH e SHN sono simili e che pertanto
gli angoli RHM e SHN somo congruenti. Ne segue che sono congruenti anche gli angoli RHP e SHP
e la (A) è provata.

(B)
Per provare la (B) [ vedi fig.2] ragiono per assurdo. Supponiamo che gli angoli RHP e SHP siano congruenti
ma CR e BS intersechino AH nei punti distinti P e Q'.
Applicando la (A) al fascio (AH, CR', BS) si ricava che gli angoli R'HP e SHP sono congruenti.
Pertanto abbiamo le seguenti due congruenze:
$R'HP=SHP$
$RHP=SHP$
da cui :
$R'HP=RHP$
Quest'ultima eguaglianza è possibile solo se R coincide con R', ovvero se Q' coincide con P
od equivalentemente se AH, CR, BS formano fascio.
C.V.D.

[giammaria2]

Grazie mille. La mia dimostrazione era molto simile alla tua e speravo che ce ne fosse una più rapida ma probabilmente non c'è; se invece c'è, siamo in due a non averla trovata.

[Sk_Anonymous]

[size=150]" Del senno di poi (ne) son piene le fosse "[/size]