Facilissimo problema di geometria

[giammaria2]

Sono possibili più metodi di soluzione e richiedono solo un briciolo di riflessione e le conoscenze geometriche fondamentali. Vieto di usare l'analitica, che ridurrebbe il problema ad applicazione di formule.

Il triangolo $ABC$, rettangolo in $A$, ha $AB=12, AC=9$; su $AB$ prendo $AD=5$ e su $AC$ prendo $AE=3$. Dopo aver completato il rettangolo $ADPE$, calcolare $PH$, distanza di $P$ da $BC$.

[kobeilprofeta]

2

[giammaria2]

Spiacente, ma la risposta è $9/5$. Comunque quello che interessa non è il numero ma il ragionamento per ottenerlo.

[kobeilprofeta]

Disegno abbastanza preciso e righello...

[adaBTTLS1]

ho scritto qui solo un'equazione che porta al risultato; di geometria o altro ho usato solo Pitagora. ciao.

utilizzando esclusivamente il teorema di Pitagora e le equazioni, PH è soluzione dell'equazione $sqrt(58-x^2)+sqrt(61-x^2)=15$
come ci si arriva è banale. eventualmente, questo può essere un suggerimento per gli studenti di secondo scientifico o terzo superiore di altri indirizzi.

[giammaria2]

Bene, finora abbiamo la soluzione col righello ( !!!) di kobeilprofeta e l'equazione proposta da adaBTTLS (qualche studente dovrebbe però spiegare come ci è arrivata, anche se non è difficile). Sono due metodi a cui non avevo pensato; ne ho però esaminati altri due ed intravisto un terzo.
La questione resta aperta: vogliamo provare a contare il numero di metodi possibili?

[adaBTTLS1]

mi è venuto in mente un altro metodo che sicuramente è "il" più semplice (in realtà, una volta impostato, porta a diversi procedimenti di soluzione, io ne scrivo solo uno).

dopo aver verificato che P è interno al triangolo (elementare), prolungo DP fino ad incontrare BC in G ed EP fino ad incontrare BC in F. ovviamente il triangolo PFG è simile ad ABC, e PH è l'altezza relativa all'ipotenusa.
........... risulta $PH=(9*12)/15*3/12=9/5$

non ho resistito a scriverlo subito, riloggandomi, anche se avrei ancora tanto da fare prima di dormire....

[giammaria2]

Questo è uno dei due metodi che ho esaminato ma l'altro è ancora più semplice.

[giammaria2]

Bravissimo! E' un metodo molto rapido e richiede solo di saper calcolare l'area dei triangoli e di usare Pitagora per trovare $BC$: cose che si studiano fin dalle medie inferiori.