Un problema di massimo

[Sk_Anonymous]

[adaBTTLS1]

poiché ho ricorso anche all'analisi, non posto il procedimento di soluzione.

se, nel triangolo ABP, chiamo H il piede dell'altezza mandata da P su AB, risulta $AH=2-sqrt2, PH=2+sqrt2$

facci sapere se cerchi una soluzione con o senza analisi e con o senza goniometria.
ciao.

[Sk_Anonymous]

@ Ada
Molto bene, il risultato è quello da te indicato ma non diciamo ancora niente sul procedimento. Dico questo perché il risultato è suscettibile di una simpatica interpretazione geometrica. Precisamente il massimo si realizza quando il punto P è allineato col centro F e col punto medio M di AB. Personalmente non sono riuscito a ricavare questo risultato per via puramente sintetica e quindi spero che ci riesca qualcun altro. Te compresa, ovviamente.

[Sk_Anonymous]

Ho trovato una (straordinaria) soluzione sintetica che mi è miracolosamente venuta
in mente ieri sera, tra una fetta di torta ed un liquorino...
Esaminando la figura ed avendo indicato con P l'intersezione della retta FM con
l'arco ED, abbiamo intanto che:
$AM=!/2AB=1/2\cdot 4=2;EF=AT=r=2;FT=TM=2$
$PG=GF=\sqrt2;PH=PG+GH=PG+FT=2+\sqrt2$
$AH=AT-HT=AT-GF=2-\sqrt2$
Detto P' un qualsiasi punto dell'arco ED, per il teorema della mediana, applicata al triangolo AP'B (non segnato in figura) e alla mediana P'M, si ha :
$P'A^2+P'B^2=2P'M^2+1/2AB^2$
Poiché $AB=8$ ed è fisso, deduciamo che il massimo di $P'A^2+P'B^2$ si ottiene
quando è massimo P'M.
Si tratta ora di dimostrare che, se P è il punto di cui prima distinto da P', risulta:
$PM>P'M$
di modo che il massimo richiesto si ottiene quando P' coincide con P.
Ora dal triangolo rettangolo PP'L risulta :
$PL>P'L$
ed aggiungendo LM ad ambo i membri :
$PL+LM>P'L+LM$
cioé:
(1) $PM>P'L+LM$
Inoltre dal triangolo P'LM si trae che :
(2) $P'L+LM>P'M$
E quindi da (1) e (2) risulta infine che :
$PM>P'M$
Resta quindi confermato che il massimo richiesto si ottiene col punto P di cui prima, punto che ha da AB la distanza
$PH=2+\sqrt2$
e da AC la distanza $AH=2-\sqrt2$

[giammaria2]

Mentre ciromario scriveva la sua soluzione io digitavo la mia, ottenuta con la sua imbeccata precedente. La mando perché mi sembra più semplice della sua

Indicando con $M$ il punto medio di $AB$ e con $H$ la proiezione di $P$ su $AB$, si ha
$PA^2-PM^2=AH^2+PH^2-PH^2-HM^2=(AM-HM)^2-HM^2=AM^2-2AM*HM$
e quindi
$PA^2=PM^2+AM^2-2AM*HM$
Con calcoli analoghi trovo
$PB^2=PM^2+BM^2+2BM*HM$
Sommando membro a membro e ricordando che $BM=AM$ ottengo
$PA^2+PB^2=2PM^2+2AM^2$ (con ragionamento diverso, anche ciromario ottiene questo)
La lunghezza di $AM$ è fissa, quindi quella somma è massima quando è massimo $PM$ e mi chiedo quando succede.
Detta $Q$ l'intersezione della circonferenza col prolungamento di $MF$ oltre $F$, per la diseguaglianza triangolare ho
$PM<=PF+FM=QF+FM=QM$
e quindi il massimo si raggiunge quando $P$ coincide con $Q$, che è appunto l'interpretazione geometrica data.

I dati forniti permettono i calcoli ma sono sovrabbondanti per dimostrare quell'interpretazione, che vale anche se $ABC$ non è rettangolo e la circonferenza non è tangente a nulla: basta conoscere la circonferenza ed i punti $A,B$.

[giammaria2]

Aggiungo un'abbreviazione che mi è venuta in mente in ritardo. Le formule per $PA^2,PB^2$ possono essere scritte senza nessun calcolo: basta applicare il teorema di Pitagora generalizzato, nella forma in cui lo si studia prima di imparare la trigonometria.