Ricorrenze pari e dispari

[giannirecanati]

Sia \(\displaystyle h \) un intero positivo e sia \(\displaystyle a_n \) la successione definita per ricorrenza nel seguente modo :
\(\displaystyle a_0=1 \)

\(\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases} \frac{a_n}{2}, & \mbox{se }a_n\mbox{ pari} \\ a_n+h, & \mbox{se }a_n\mbox{ dispari}
\end{cases} \)

Per quali valori di \(\displaystyle h \) esiste \(\displaystyle n>0 \) tale che \(\displaystyle a_n=1 \)?

Qui metto la mia soluzione, che usa l'induzione, su cui ho un forte dubbio:

Chiaramente se \(\displaystyle h \) è pari allora \(\displaystyle n \) non esiste, poiché avrei \(\displaystyle a_n=1+hn \) \(\displaystyle \forall n >0\)
Viceversa \(\displaystyle n \) esiste sempre purchè \(\displaystyle h \) sia dispari. Ora uso il principio di induzione forte su \(\displaystyle k \), imponendo \(\displaystyle h=2k-1 \). Vale chiaramente per \(\displaystyle k=1 \), ma è facile anche il caso di \(\displaystyle k=3 \). Lo suppongo vero fino ad un certo naturale \(\displaystyle k-1 \) da cui \(\displaystyle h=2k-1 \) e dimostro che è vero per \(\displaystyle k+1 \) ossia \(\displaystyle h=2k+1 \). Avrò infatti \(\displaystyle a_1=2k+2 \). Per cui avrò \(\displaystyle a_2=k+1<2k-1 \), adesso se \(\displaystyle k+1 \) è una potenza del 2 arriverò direttamente usando solo la prima trasformazione al termine 1, se invece \(\displaystyle k+1 \) ha qualche fattore dispari, arriverò ugualmente ad ottenere 1 perché dopo aver tolto tutti i fattori 2 otterrò sicuramente un numero dispari inferiori a \(\displaystyle 2k+1 \), e per ipotesi induttiva tutti i dispari inferiori a \(\displaystyle 2k+1 \) arrivavano ad 1. La dimostrazione sarebbe completa ma questa parte con l'induzione non mi convince. C'è qualche errore nell'uso del principio d'induzione o va bene così?

[milizia96]

Non ho ben chiaro cosa sia $k$.

[giannirecanati]

Dovrebbe essere un qualunque numero naturale.

[milizia96]

Aspetta un attimo.
Forse ti conviene definire bene ipotesi e tesi dell'induzione, in modo da non confonderti.
Nel tuo caso (se ho capito bene):
Ipotesi -> Per ogni $k<=K$, ho che $h=2k-1$ soddisfa la richiesta del problema.
Tesi -> La richiesta del problema è verificata per $h=2K+1$

Che (se tu riuscissi a concludere) andrebbe bene come dimostrazione.
Però non ho capito bene cosa fai verso la fine, mi sembra che hai fatto un po' di confusione su quale sia l'ipotesi induttiva.

Comunque stai attento: al variare di $h$ la sequenza subisce notevoli cambiamenti, e non credo che la tecnica dell'induzione (su $h$ o $K$) possa esserti molto d'aiuto in questo caso.

[giannirecanati]

Si hai ragione infatti la dimostrazione che avevo pensato era sbagliata, grazie mille!!