Sarà vero ?

[Sk_Anonymous]

Si consideri l'espressione ( reale):
$$ \sqrt[3]{\frac{a+1}{2}+\frac{a+3}{6}\sqrt{\frac{4a+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{a+1}{2}-\frac{a+3}{6}\sqrt{\frac{4a+3}{3}}} $$
con $a> -3/4$
Dimostrare che tale espressione è un intero.

[giammaria2]

Dopo una settimana senza risposte penso di poter mandare la mia.

Indicando con $x,y$ le due radici cubiche si ha

$xy=root(3)((a+1)^2/4-((a+3)^2(4a+3))/(36*3))=...=-a/3$
e $" "x^3+y^3=a+1$

Ma so che $(x+y)^3= x^3+y^3+3xy(x+y)$ e quindi, indicando con $s=x+y$ la grandezza da calcolare, ottengo

$s^3=a+1-as$
$s^3-1+as-a=0$
$(s-1)(s^2+s+1+a)=0$

Si ha quindi la soluzione $s=1$ che è appunto un numero intero ed in campo reale la soluzione deve essere unica; lo possiamo controllare notando che il secondo fattore ha
$Delta=1-4(1+a)=-(4a+3)<0" "$ perché $a> -3/4$.

Ciromario ha gentilmente escluso il caso $a=-3/4$, in cui il secondo fattore ha la soluzione reale $s=-1/2$ ma penso sia bene esaminarlo. Per questo valore si ottiene
$s=root(3)(1/8)+root(3)(1/8)=1/2(root(3)1+root(3)1)$
ed i calcoli in campo reale portano ad $s=1$. In campo complesso ci sono però tre radici cubiche, cioè $1$ e $(-1+-isqrt3)/2$ ed è reale anche
$s=1/2((-1+isqrt3)/2+(-1-isqrt3)/2)=-1/2$