Riguardo alle radici $n$-sime di numeri interi.

[j18eos]

Tutte\*\i sappiamo che la radice (aritmetica) \(\displaystyle n\)-sima di un numero intero (positivo od anche negativo se \(\displaystyle n\) è dispari) è un numero intero od un numero irrazionale.

[size=150]Sfida:[/size] come dimostrereste il precedente teorema utilizzando [size=150]la sola aritmetica[/size]?

Buon divertimento.

[fmnq]

Mi sembra il solito trucco sulle frazioni che non sono più ridotte ai minimi termini: se $a^{1/n}$ è razionale, diciamo che è \(\frac{p}{q}\) e che wlog $p,q$ sono coprimi. allora \(a=\frac{p^n}{q^n}\) è intero, e del resto ciò significa che $q^n$ divide $p^n$, ma allora...

PS: se non dici cos'è "l'aritmetica", è difficile rispondere usando solo lei, no?

[j18eos]

...ed applichi il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica e concludi per assurdo.

Ne conosci un'altra?

[dan952]

Sia $a$ intero positivo e $n \in \mathbb{N}$, consideriamo l'insieme $S={a^n+1, a^n+2, \cdots, (a^n+1)^n-1}$.

Ora sia $b \in S$ allora $\root[n]{b}$ non è intero, infatti si ha $a<\root[n]{b}
Dunque supponiamo esistano due numeri interi positivi $p,q$ tali che:

1) $p>q$
2) $p^n/q^n=b$
3) $q$ non divide $p$

Ora, $b \in S$ quindi esiste $k$ intero positivo opportuno tale che $b=a^n+k$, in particolare dalla 2) segue che $p^n/q^n=a^n+k$. D'altra parte $q$ non divide $p$ quindi esistono $s$ e $00$ per ipotesi su $r$, quindi $r\geq q^n$ assurdo...

[j18eos]

@dan95

Bella idea usare intelligentemente l'algoritmo della divisione euclidea.