[EX] Variante del teorema di funzione implicita

[otta96]

Siano $(x_0,y_0)\inRR^2$, $a,b\inRR^+$, $I_a=[x_0-a,x_0+a], I_b=[y_0-b,y_0+b]$ e $F:I_a\times I_b\to RR$ una funzione continua. Supponiamo $F(x_0,y_0)=0$ e che $EEk<1:|F(x,y_1)-F(x,y_2)|<=k|y_1-y_2|AAx\inI_a,y_1,y_2\inI_b$. Allora esiste $s<=a$ e un'unica funzione continua $f:[x_0-s,x_0+s]\to I_b$ tale che $f(x_0)=y_0$ e $f(x)=y_0+F(x,f(x))AAx\in[x_0-s,x_0+s]$.
Se poi riuscite a darne un'interpretazione di qualche tipo (ad esempio geometrica) tanto meglio, che io per quanto ci abbia pensato non mi è venuto in mente niente
Suggerimento:

usare il teorema delle contrazioni di Banach

[Bremen000]

Sicuro che sia \( f(x) = F(x, f(x)) \) ? Se $y_0$ è abbastanza lontano dallo $0$ e $b$ è molto piccolo, mi pare falso...

[otta96]

Perché?

[Bremen000]

Perché se la tesi è vera cioè esiste \( 0
\[ f(x) = F(x,f(x)) \quad \quad \forall x \in [x_0-s, x_0+s] \]

in particolare è vera per $x=x_0$ e quindi

\[ y_0 = f(x_0) = F(x_0, f(x_0))= F(x_0, y_0) =0 \]

che in generale è falso.

[otta96]

Si, chiaramente hai ragione, mi ero dimenticato un pezzo, ora lo metto.

[Bremen000]

Penso che si faccia così. Non è molto diverso da quello che si fa per spazi normati generici, se non ricordo male. Bello comunque, sarebbe da dare in uno scritto di analisi 2!

Siano, per ogni $x \in I_a$, definite le mappe $T_x$ come

\[ T_x : [-b,b] \to \mathbb{R} \quad \quad y \mapsto F(x,y+y_0) \]

ora voglio restringere l'immagine di $T_x$ di modo che sia contenuta in \( [-b,b] \), dunque per ogni $x \in I_a$ e per ogni \( y \in [-b,b] \) si ha
\[ |T_x(y)| - |T_x(0)| \le ||T_x(y)| - |T_x(0)|| \le |T_x(y)-T_x(0)| = |F(x,y+y_0)-F(x,y_0)| \le k|y| \le kb \]

allora

\[ |T_x(y)| \le kb + |T_x(0)| = kb + |F(x,y0)|\]

Per la continuità di \( F \) esiste un $\delta >0$ tale che se \( |x-x_0| < \delta \) allora \( |F(x,y_0)| < (1-k)b \). Quindi ora posso, posto $s=\delta/2$, considerare per ogni \( x \in I_s:= [x_0-s, x_0+s] \) le mappe

\[ T_x : [-b,b] \to [-b,b] \quad \quad y \mapsto F(x,y+y_0) \]

Per Banach-Caccioppoli:
\[ \forall x \in I_s \, \exists ! \, y=y(x) \in [-b,b] \mid T_x(y) =F(x,y+y_0)=y \]

Siccome poi la coppia $(x,0)$ soddisfa \( F(x,y+y_0) = y \) (infatti \( F(x_0, y_0) = 0 \) ), allora $y(x_0)=0$.

E' dunque ben definita la funzione \( f: I_s \to I_b \) tale che \( f(x) = y(x) + y_0 \) e chiaramente per ogni \( x \in I_s \) si ha \( f(x) = y_0 + F(x,f(x)) \). In particolare vale \( f(x_0) = y_0 \).

Resta da mostrare che la funzione così costruita è continua. Prendiamo \( x_1, x_2 \in I_s \) e sia \( \epsilon >0 \) fissato:

\[ |f(x_1)-f(x_2) | = |F(x_1, f(x_1)) - F(x_2, f(x_2)) | \le \]
\[ \le |F(x_1, f(x_1) -F(x_1, f(x_2)) | + |F(x_1, f(x_2)) - F(x_2, f(x_2))| \le \]
\[ \le k |f(x_1)-f(x_2)| + |F(x_1, f(x_2)) - F(x_2, f(x_2))| \]

Siccome la mappa \( x \mapsto F(x,f(x_2) \) è continua per ogni \( x \in I_s \), esiste un \( \delta= \delta(\epsilon, x_2)>0 \) tale che se \( |x_1-x_2| < \delta \) allora \( |F(x_1, f(x_2)) - F(x_2, f(x_2))| < (1-k) \epsilon \).
Allora se \( |x_1-x_2| < \delta \) si ha

\[ |f(x_1)-f(x_2) |(1-k) < (1-k) \epsilon \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2) | < \epsilon \]

e quindi $f$ è continua.

[otta96]

Bravo Bremen, è tutto giusto.
Comunque te hai capito qual è in senso di questo teorema? Io no...
Scusa se ti ho risposto dopo così tanto tempo

[Bremen000]

Bene!
Guarda per dare le interpretazioni alle cose sono proprio la persona sbagliata