Una funzione differenziabile con inversa discontinua, possibile?

[Livius1]

Al primo corso di Analisi, si studiava il Teorema di Derivazione della Funzione Inversa, che poteva iniziare col dire così: se $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ è biunivoca e derivabile in $x_0 \in \mathbb R$ con $f'(x_0)\ne 0$ allora anche l'inversa è derivabile nel punto $y_0 =f(x_0)$, e si dava la nota formula che è superfluo riportare qua. Ma poi mi imbatto in questo http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG ... v-disc.pdf , esiste cioè una funzione biunivoca e derivabile in un punto con derivata diversa da zero la cui inversa è discontinua nel punto corrispondente, possibile? Come si spiega la cosa nel cotesto teorico, sapete dirmi dov'è l'inghippo se c'è ?

[j18eos]

Il suddetto teorema chiede che \(\displaystyle f\) sia continua con la sua derivata!

...e non credo di ricordare male.

[dissonance]

Armando si riferisce al caso generale, multidimensionale. In dimensione uno si può fare a meno dell'ipotesi di continuità della derivata. Però, quello di cui non si può proprio fare a meno è che la derivata esista in tutto un intervallo, un punto solo non significa niente.

P.S.: In realtà, anche nel caso multidimensionale si può fare a meno della continuità della derivata, ma la funzione deve comunque essere differenziabile su tutto un aperto:

https://terrytao.wordpress.com/2011/09/ ... able-maps/

[j18eos]

Interessanti generalizzazioni...[ot]

"dissonance":Armando si riferisce al caso generale, multidimensionale...

Se per "multidimensionale" intendi "(spazio) infinitodimensionale (di Banach)": allora sì, è vero![/ot]

[Livius1]

Ma io volevo partire, almeno inizialmente, dal caso più semplice: le funzioni di una variabile reale dove e solo qui differenziabilità e derivabilità coincidono. Le dimostrazioni del suddetto teorema che si trovano in tutti i manuali del primo anno di Analisi, nella loro semplicità sembrano però fare a meno dell'ulteriore ipotesi di derivabilità nell'intorno aperto del punto, ma forse sarò io che mi sbaglio, e adesso controllerò meglio. Però poi mi sono imbattuto su questo (vedere solo la prima pagina e mezza, non sono riuscito a togliere il resto) http://axp.mat.uniroma2.it/~braides/030 ... ni2324.pdf e vedo che l'ipotesi di derivabilità nell'intorno aperto può essere sostituita con la molto più debole: "continuità di $f$ in un intorno del punto" (nel caso più complesso di più variabili reali non so se resta vero); ma continuo a non capire, nel senso che nella dimostrazione del teorema per una variabile non vedo come intervengano l'una o l'altra delle ulteriori ipotesi,mi sembrano superflue cioè, ma il limite evidentemente è solo mio.

[Livius1]

ma la funzione deve comunque essere differenziabile su tutto un aperto: forse no, basterebbe la continuità

[dissonance]

"Livius":Ma io volevo partire, almeno inizialmente, dal caso più semplice: le funzioni di una variabile reale dove e solo qui differenziabilità e derivabilità coincidono.

Certamente. Infatti io parlavo di "differenziabilità" ma non è un fatto importante, era solo per consistenza con il caso più generale. D'ora in poi consideriamo funzioni di una sola variabile e parliamo della loro "derivabilità", così non ci confondiamo.

Le dimostrazioni del suddetto teorema che si trovano in tutti i manuali del primo anno di Analisi, nella loro semplicità sembrano però fare a meno dell'ulteriore ipotesi di derivabilità nell'intorno aperto del punto,

E forse sono io che sbaglio allora, ti confesso che sono andato un po' a naso e non mi sono messo a vedere i dettagli. (NOTA. La derivabilità è una cosa utile solo quando esiste in tutto un intervallo, perché tutti i teoremi principali richiedono questa ipotesi. È il caso del teorema di Rolle, e quindi dei vari Lagrange, l'Hôpital, etc..., che da esso discendono. Anche la formula fondamentale del calcolo richiede la derivabilità in tutto un intervallo. )

ma forse sarò io che mi sbaglio, e adesso controllerò meglio. Però poi mi sono imbattuto su questo (vedere solo la prima pagina e mezza, non sono riuscito a togliere il resto) http://axp.mat.uniroma2.it/~braides/030 ... ni2324.pdf e vedo che l'ipotesi di derivabilità nell'intorno aperto può essere sostituita con la molto più debole: "continuità di $f$ in un intorno del punto" (nel caso più complesso di più variabili reali non so se resta vero);

Lasciamo stare il caso di più variabili, che è più difficile (e interessante, ma se vuoi ne riparliamo in un altro topic). Ho letto il pdf. Nota bene che si richiede a priori che \(f\) sia invertibile. Ma verificare che una funzione sia invertibile è proprio la cosa più difficile. Quindi, il teorema è vero, ma inutile, in quella forma. Se vogliamo un teorema utile dobbiamo enunciarlo così:

Teorema. Sia \(f\colon (a, b)\to \mathbb R\) una funzione derivabile in tutto l'intervallo \((a, b)\). Se \(f'(x)\ne 0\) per ogni \(x\in (a, b)\), allora \(f\) è invertibile. Se \(g=f^{-1}\) e \(y_0=f(x_0)\) allora
\[
\frac{dg}{dy}(y_0)=\left( \frac{df}{dx}(x_0)\right)^{-1}.\]

Qui l'invertibilità di \(f\) è parte della tesi, non delle ipotesi.

[Livius1]

Però quello che a me interessava è la questione logica che ne esce fuori: una funzione di una variabile reale che con le ipotesi di invertibilità e derivata diversa da zero in un punto, sembrano essere sufficienti per l'esistenza della derivata dell'inversa nel corrispondente punto; però poi c'è un esempio concreto di funzione con le stesse caratteristiche che non solo non è derivabile nel punto corrispondente, ma è addirittura discontinua, contraddizione ? Ecco, per esplorare "la logicità della cosa" spesso e volentieri tocca sviscerare il dettaglio! Una possibile risposta, forse potrebbe essere che il teorema della continuità della funzione inversa (di una variabile reale, definita su un intervallo e invertibile: se continua in tutto l'intervallo lo è anche l'inversa nell'intervallo corrispondente) valga solo per intervalli (non degeneri) e basta. Ma ho ancora dei dubbi, resto perplesso.

[dissonance]

Il busillis sicuramente starà nel fatto che la funzione di Gilardi non è continua in un intorno del punto di derivabilità.

[Livius1]

E' l'unica, ma resto comunque perplesso. La continuità nell'intorno del punto di derivabilità si dà come ipotesi, ma poi nella dimostrazione effettiva non viene usata. Forse l'uso è talmente sottile ed implicito che io non lo colgo, può essere, non dico di no.

[dissonance]

"Livius":E' l'unica, ma resto comunque perplesso. La continuità nell'intorno del punto di derivabilità si dà come ipotesi, ma poi nella dimostrazione effettiva non viene usata. Forse l'uso è talmente sottile ed implicito che io non lo colgo, può essere, non dico di no.

Si che viene usata. Mi riferisco al secondo pdf che hai linkato, quello di La Sapienza. A un certo punto si applica un cambio di variabile \(x=f^{-1}(y)\) e si calcola un limite con quello. Chi garantisce che \(x\to x_0\) equivalga a \(y\to y_0=f(x_0)\)? La continuità di \(f^{-1}\), ma tale continuità discende da un lemma precedente, e lì sì che ci vuole la continuità di \(f\) in tutto l'intervallo.

Ti confesso che sto rispondendo un po' di fretta, quindi prendi con le pinze e se non ti convince ne riparliamo.