Paradossi di zenone
salve a tutti,
non so se sia la sezione adatta, ma mi piacerebbe sapere se esiste una soluzione matematica ai paradossi di zenone.
una soluzione che non coinvolga il calcolo infinitesimale, il concetto di limite, e ogni altra formulazione ""approssimativa"".
grazie!
ah, ho già guardato gli altri thread. tutte le dimostrazioni usano il calcolo infinitesimale. tranne una nell'ultimo post di questo topic , che però abbastanza evidentemene non risolve il paradosso.
zenone-t54115.html
non so se sia la sezione adatta, ma mi piacerebbe sapere se esiste una soluzione matematica ai paradossi di zenone.
una soluzione che non coinvolga il calcolo infinitesimale, il concetto di limite, e ogni altra formulazione ""approssimativa"".
grazie!
ah, ho già guardato gli altri thread. tutte le dimostrazioni usano il calcolo infinitesimale. tranne una nell'ultimo post di questo topic , che però abbastanza evidentemene non risolve il paradosso.
zenone-t54115.html
Risposte
Perché vuoi evitare il ricorso al calcolo infinitesimale?
perché impiegando il concetto di limite purtroppo non si risolve il paradosso, anzi , lo si conferma.
la teoria degli insiemi di cantor nom aiuta? penso sia già stata impiegata da qualcuno per confutare il paradosso di zenone, ma su internet (google scholar compreso) non ho trovato niente.
la teoria degli insiemi di cantor nom aiuta? penso sia già stata impiegata da qualcuno per confutare il paradosso di zenone, ma su internet (google scholar compreso) non ho trovato niente.
Cioè tu vorresti smentire un paradosso?
Secondo me non ti è chiara l’idea del limite.
Secondo me non ti è chiara l’idea del limite.
1. non sono l'unico nella storia mi pare. comunque il problema non è zenone, ma l'idea di punto.
2. il concetto di limite mi è chiaro, tranquillo.
2. il concetto di limite mi è chiaro, tranquillo.
Non c’è bisogno di mettersi sulla difensiva 
Premettiamo che un paradosso non è un quesito aperto, quindi non si ‘risolve’ a mio avviso.
Per seconda cosa, il calcolo infinitesimale non conferma o smentisce nulla, ma aiuta a studiare determinati fenomeni
Prendiamo il paradosso di Achille e la tartaruga, che forse è quello più conosciuto e analizziamo assieme dove risiede il paradosso, provando a dare motivazioni di carattere logico/matematico.
Prima ancora di parlare della storiella, bisogna anteporre il fatto che Achille tenta di raggiungere la tartaruga e non di superarla.
Il raggiungere implica che a un dato tempo $t$ entrambi si trovino, supponendo che possano sovrapporsi, in uno stesso punto.
Un po’ come il coniglio che tenta di raggiungere la carota facendo per ogni unità di tempo la metà del percorso restante, che non raggiungerá mai la carota.
Il mio dirti ‘secondo me non ti è chiara l’idea di limite’ non vuole essere un’offesa, come probabilmente l’avrai recepita, ma un invito a soffermarsi sulla profondità del concetto.
Premettiamo che un paradosso non è un quesito aperto, quindi non si ‘risolve’ a mio avviso.
Per seconda cosa, il calcolo infinitesimale non conferma o smentisce nulla, ma aiuta a studiare determinati fenomeni
Prendiamo il paradosso di Achille e la tartaruga, che forse è quello più conosciuto e analizziamo assieme dove risiede il paradosso, provando a dare motivazioni di carattere logico/matematico.
Prima ancora di parlare della storiella, bisogna anteporre il fatto che Achille tenta di raggiungere la tartaruga e non di superarla.
Il raggiungere implica che a un dato tempo $t$ entrambi si trovino, supponendo che possano sovrapporsi, in uno stesso punto.
Un po’ come il coniglio che tenta di raggiungere la carota facendo per ogni unità di tempo la metà del percorso restante, che non raggiungerá mai la carota.
Il mio dirti ‘secondo me non ti è chiara l’idea di limite’ non vuole essere un’offesa, come probabilmente l’avrai recepita, ma un invito a soffermarsi sulla profondità del concetto.
Se ti sta stretta l'idea di punto sei in compagnia di matematici eccezionali. Informati a riguardo, e considera i vantaggi del passare a un setting dove l'esistenza di punti materiali viene evitata nella assiomatizzazione della meccanica.
Poi, credo che matematicamente sia una domanda interessante trovare un modello per uno spazio metrico dove il paradosso può essere realizzato. Informati anche su questo.
Poi, credo che matematicamente sia una domanda interessante trovare un modello per uno spazio metrico dove il paradosso può essere realizzato. Informati anche su questo.
infatti a me risolvere il paradosso, in sé per sé, non interessa.
mi interessa capire se la nozione di punto sia utilizzabile senza giungere a paradossi , tipo quello di zenone. se mi dici che per te invece è così, ok, problema risolto.
il concetto di limite è profondo, non era mia intenzione "screditarlo". ma in questo caso è proprio l'ultimo degli strumenti che impiegherei.
in generale non ho capito il senso di questo ultimo tuo post. conosco il paradosso, voglio capire se esiste un modello matematico che, sommando un insieme di valori infinitesimali , produca un valore appartenente a R, senza ricorrere all'integrale. e se quasto modello sia applicabile, e come, al paradosso di zenone.
EDIT: letto solo ora il mess. di killing. grazie per le info, tu sapresti discuterne qui?
mi interessa capire se la nozione di punto sia utilizzabile senza giungere a paradossi , tipo quello di zenone. se mi dici che per te invece è così, ok, problema risolto.
il concetto di limite è profondo, non era mia intenzione "screditarlo". ma in questo caso è proprio l'ultimo degli strumenti che impiegherei.
in generale non ho capito il senso di questo ultimo tuo post. conosco il paradosso, voglio capire se esiste un modello matematico che, sommando un insieme di valori infinitesimali , produca un valore appartenente a R, senza ricorrere all'integrale. e se quasto modello sia applicabile, e come, al paradosso di zenone.
EDIT: letto solo ora il mess. di killing. grazie per le info, tu sapresti discuterne qui?
Ma il paradosso non esiste ... Ci sarebbe un paradosso se le due conclusioni fossero entrambe vere ma quella di Zenone è falsa; egli sostiene (sintetizzando) che se una somma ha infiniti addendi allora è infinita, ma è una conclusione arbitraria, non dimostrata. Difatti si può smentire facilmente, senza ricorrere agli integrali. Per esempio $1>sum_(i=1)^n 1/2^i$ , per qualsiasi valore di $n$ quella somma non supererà mai il valore $1$ quindi non è infinita ... 
"axpgn":
Ma il paradosso non esiste ... Ci sarebbe un paradosso se le due conclusioni fossero entrambe vere ma quella di Zenone è falsa; egli sostiene (sintetizzando) che se una somma ha infiniti addendi allora è infinita, ma è una conclusione arbitraria, non dimostrata. Difatti si può smentire facilmente, senza ricorrere agli integrali. Per esempio $1>sum_(i=1)^n 1/2^i$ , per qualsiasi valore di $n$ quella somma non supererà mai il valore $1$ quindi non è infinita ...
aspetta, il paradosso di zenone non dice che una somma di infinitesimi dà infinito, se ho capito bene quello che hai scrtto.
il paradosso di zenone dice proprio che se a n dai un valore infinito , la sommatoria che hai scritto resta sempre inferiore a 1 (tende a 1/2ln2 se non ho sbagliato qualche calcolo).
questa cosa applicata al moto producr il paradosso di cui stiamo discutendo.
ma la cosa di cantor che scrivo nel primo post è una cazzata? o ha un senso? qualcuno sa dirmelo?
Io la ricordavo in altro modo ma non cambia la sostanza di quello che ho detto: se la lepre non raggiunge mai la tartaruga implica che il tempo impiegato per raggiungerla (ovvero la somma dei vari "intervallini" di tempo necessari per percorrere i diversi tratti) non sia finito mentre la meccanica classica (e la realtà) ci dicono che lo è
certo , ma non serve la meccanica classica per dirlo.
tutti sanno empiricamemte che il movimento esiste , quindi il paradosso di zenone è "fattualmente" sbagliato.
il mio problema è, ripeto, che la nozione di punto genera paradossi logici.
tutti sanno empiricamemte che il movimento esiste , quindi il paradosso di zenone è "fattualmente" sbagliato.
il mio problema è, ripeto, che la nozione di punto genera paradossi logici.
"daisu":
, quindi il paradosso di zenone è "fattualmente" sbagliato
certo, ma quello che voglio dire è che il paradosso non c'è proprio perché le due conclusioni non sono entrambe vere, quella di Zenone è una sua supposizione ma non dimostrata logicamente, anzi smentita logicamente ... che poi il tuo interesse sia un altro è evidente, è chiaro ...
ma non è vero che sia smentita logicamente... lo è dai fatti, dalle registrazioni empiriche, casomai.
a rigore , non potremmo mai parlare di moto di un proiettile su una retta, su un piano o entro un volume
a rigore , non potremmo mai parlare di moto di un proiettile su una retta, su un piano o entro un volume
"daisu":
aspetta, il paradosso di zenone non dice che una somma di infinitesimi dà infinito, se ho capito bene quello che hai scrtto.
il paradosso di zenone dice proprio che se a n dai un valore infinito , la sommatoria che hai scritto resta sempre inferiore a 1 (tende a 1/2ln2 se non ho sbagliato qualche calcolo).
questa cosa applicata al moto producr il paradosso di cui stiamo discutendo.
ma la cosa di cantor che scrivo nel primo post è una cazzata? o ha un senso? qualcuno sa dirmelo?
Il problema forse sta proprio nel trattare $infty$ come un numero, non è un valore che si può assegnare.
A parte questo, riferendomi al punto, penso che non tutto vada inteso nella stessa maniera di Euclide.
In geometria affine il punto alla fine non è altro che un elemento dell’insieme stesso, forse perché i singoletti sono gli insiemi che hanno la cardinalità più piccola(tolto l’insieme vuoto)
Magari il problema può ridursi, come dice killing, a trovare uno spazio metrico dove il paradosso può essere studiato e penso che molti di questi problemi derivino dalla mancata accettazione di una possibile rappresentazione matematica della realtà.
Una cosa: a te interesserebbe mostrare che la distanza tra ‘Achille e la tarta’ resti maggiore di $0$ senza usare il calcolo?
"anto_zoolander":
[quote="daisu"]aspetta, il paradosso di zenone non dice che una somma di infinitesimi dà infinito, se ho capito bene quello che hai scrtto.
il paradosso di zenone dice proprio che se a n dai un valore infinito , la sommatoria che hai scritto resta sempre inferiore a 1 (tende a 1/2ln2 se non ho sbagliato qualche calcolo).
questa cosa applicata al moto producr il paradosso di cui stiamo discutendo.
ma la cosa di cantor che scrivo nel primo post è una cazzata? o ha un senso? qualcuno sa dirmelo?
Il problema forse sta proprio nel trattare $infty$ come un numero, non è un valore che si può assegnare.
A parte questo, riferendomi al punto, penso che non tutto vada inteso nella stessa maniera di Euclide.
In geometria affine il punto alla fine non è altro che un elemento dell’insieme stesso, forse perché i singoletti sono gli insiemi che hanno la cardinalità più piccola(tolto l’insieme vuoto)
Magari il problema può ridursi, come dice killing, a trovare uno spazio metrico dove il paradosso può essere studiato e penso che molti di questi problemi derivino dalla mancata accettazione di una possibile rappresentazione matematica della realtà.
Una cosa: a te interesserebbe mostrare che la distanza tra ‘Achille e la tarta’ resti maggiore di $0$ senza usare il calcolo?[/quote]
se dimostri che la distanza fra achille e la tartaruga resta maggiore di zero , stai confermando il paradosso, non lo stai risolvendo. comunque se hai già fatto la dimostrazione postamela pure, per curiosità.
quanto a quello che dice killing, sono interessato. era un post abbastanza astratto, se esiste una matematica che sappia rappresentare la realtà senza ricorrere alla nozione di punto, sono davvero interessato (e , per quanto mi riguarda, l'unica possibile rappresentazione dell'esperienza è quella matematica).
sulla geometria affine mi sembra che tu abbia scritto una tautologia, ma probabilmente sbaglio io (che cmq non sono un tecnico... studio medicina). voglio dire, come risolve il problema?
No ancora non l’ho scritta, ma ho qualche idea in mente(che non per forza funzionerà)
Qual è la tua nozione di ‘punto’?
No non c’è tautologia, è una definizione. Ovvero gli elementi di uno spazio affine si definiscono ‘punti’ e lo stesso accade per spazi normati, topologici, metrici... ma bisogna sempre vedere cosa intendiamo per punto.
Qual è la tua nozione di ‘punto’?
No non c’è tautologia, è una definizione. Ovvero gli elementi di uno spazio affine si definiscono ‘punti’ e lo stesso accade per spazi normati, topologici, metrici... ma bisogna sempre vedere cosa intendiamo per punto.
così a bruciapelo ti direi che un punto è ciascuna della parti che compongono un corpo (o una retta , o un piano, o uno spazio) diviso per un numero infinito di volte. comunque sei libero di correggerla, dato che hai intuito cosa intendo.
sì, grazie, postala pure quando l'hai svolta. sento che può darmi una comprensione più completa di tutto l'argomento.
sì, grazie, postala pure quando l'hai svolta. sento che può darmi una comprensione più completa di tutto l'argomento.
[ot]Ma fare medicina vi rende polemici?[/ot]
Altre persone possono definire punto in altri cento modi.
L’anno scorso venne in facoltà da me un filosofo a tenere un seminario proprio sulla concezione filosofica del punto e ne ho sentite di vari colori sia dal suo canto, che da quello dei matematici.
Penso che il punto sia una delle cose più complesse da concepire, al momento io preferisco vederne l’esistenza solo a partire da un sistema di riferimento, come l’insieme delle posizioni assunte da un qualcosa in un determinato istante.
Altre persone possono definire punto in altri cento modi.
L’anno scorso venne in facoltà da me un filosofo a tenere un seminario proprio sulla concezione filosofica del punto e ne ho sentite di vari colori sia dal suo canto, che da quello dei matematici.
Penso che il punto sia una delle cose più complesse da concepire, al momento io preferisco vederne l’esistenza solo a partire da un sistema di riferimento, come l’insieme delle posizioni assunte da un qualcosa in un determinato istante.
il mio problema è, ripeto, che la nozione di punto genera paradossi logici.
Ti do alcune coordinate per googlare delle informazioni; la teoria dei topos studia qualcosa di molto simile a "cosa diventa la geometria quando la nozione di punto viene sostituita dalla nozione di aperto"; prova a leggere cose di topologia formale (o "senza punti", o "pointless topology", denominazione che offre il fianco a divertenti prese in giro).
E poi penso tu non abbia considerato una cosa: seghe.
(L'ultima frase è stata aggiunta mentre stavo finendo il messaggio dalla mia ragazza che passava di qua non ho avuto cuore di cancellarla)
non ho avuto cuore di cancellarla)
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