Autospazi e autovalori
Scusatemi nuovamente ma di nuovo ci sono alcune cose che non ho capito in questa soluzione.
Sia \( \pi : \{1,\ldots,n\} \rightarrow \{1,\ldots,n\} \) biettivo. Sia \( f_{\pi} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) definita per \( f_{\pi} ((x_1,\ldots,x_n)^{t})=(x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(n)})^{t} \) Calcolare tutti gli autovalori e gli autospazi associati di \( f_{\pi} \).
Soluzione:
Per un autovettore \( v \) associato all'autovalore \( \lambda \) abbiamo \( \begin{vmatrix} \lambda \end{vmatrix} \begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \lambda v \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}f(v) \end{Vmatrix}= \begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix} \).
Questo implica che i soli autovalori possibili sono \( \lambda_1 = 1 \) e \( \lambda_2=-1 \)
Sia \( v \) un autovettore per \( \lambda_1 = 1 \). Questo è equivalente alla condizione:
\( \forall i \in \{1,\ldots,n\} : v_i = (f_{\pi}(v))_i = v_{\pi(i)} \) e \( v \neq 0 \)
Inoltre l'autospazio associato è dato da:
\( E_1 = \{ v \in \mathbb{R}^n : \forall i \in \{1,\ldots,n\} : v_i = v_{\pi(i)} \} \)
Dimostriamo che \( \dim E_1 >0 \). Ma questo è vero visto che \( f(\mathbf{1})=\mathbf{1} \) implica \( \mathbf{1} \in E_1 \).
Consideriamo \( \lambda_2=-1 \). Visto che \( \pi \) è una biiezione su l'insieme finito \( \{ 1, \ldots, n\} \), per ciascun \( i \in \{1, \ldots,n \} \) esiste un intero minimale \( 0
\( \forall i \in \{1,\ldots,n\} : v_i = (f_{\pi}(v))_i = v_{\pi(i)} \) e \( v \neq 0 \) (1)
Ma se \( n_i \equiv 1 \mod 2 \) per tutti gli \( i \) implica \( x_i=-x_i \) e l'unico vettore che soddisfa la condizione è \( \mathbf{0} \). Dunque \(-1\) non è un autovalore in questo caso.
Se esiste un \( k \in \{1, \ldots,n\} \) con \(n_k \equiv 0 \mod 2 \), otteniamo una serie
\( x_k = -x_{\pi(k)} = x_{\pi^2(k)}=-x_{\pi^3(k)}=\ldots=x_{\pi^{n_k}(k)}=x_k \)
Con \( \pi^i(k) \neq \pi^j(k) \) per \( i\neq j\) (visto che \(n_k \) è minimale). Il vettore \( x\neq 0 \) dato per
\[ x_i= \left\{\begin{matrix}
1 & i=\pi^j(k) & \text{per} & j \equiv 0 \mod 2\\
-1 & i=\pi^j(k) & \text{per} & j \equiv 0 \mod 2\\
0 & i\neq\pi^j(k) & \text{per ciascun} & j \in \{0,\ldots,n-1\}\\
\end{matrix}\right. \]
Soddisfa la condizione (1). Inoltre se esiste un \( n_k \equiv 0 \mod 2 \), \( \lambda_2=-1 \) è un autovalore e l'autospazio è dato da
\( E_{-1} = \{ v \in \mathbb{R}^n : \forall i \in \{1,\ldots,n\} : v_i = v_{\pi(i)} \} \)
-Non capisco come mai gli autospazi \( E_1 \) e \( E_{-1} \) sono i medesimi.
-Non dovrebbe essere \(-1 \), \( i=\pi^j(k) \ \text{per}\ j \equiv 1 \mod 2\) ?
-Perché dice che se \( n_k \equiv 0 \mod 2 \), allora \( \lambda_2=-1 \) è un autovalore ?
Sia \( \pi : \{1,\ldots,n\} \rightarrow \{1,\ldots,n\} \) biettivo. Sia \( f_{\pi} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) definita per \( f_{\pi} ((x_1,\ldots,x_n)^{t})=(x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(n)})^{t} \) Calcolare tutti gli autovalori e gli autospazi associati di \( f_{\pi} \).
Soluzione:
Per un autovettore \( v \) associato all'autovalore \( \lambda \) abbiamo \( \begin{vmatrix} \lambda \end{vmatrix} \begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} \lambda v \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}f(v) \end{Vmatrix}= \begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix} \).
Questo implica che i soli autovalori possibili sono \( \lambda_1 = 1 \) e \( \lambda_2=-1 \)
Sia \( v \) un autovettore per \( \lambda_1 = 1 \). Questo è equivalente alla condizione:
\( \forall i \in \{1,\ldots,n\} : v_i = (f_{\pi}(v))_i = v_{\pi(i)} \) e \( v \neq 0 \)
Inoltre l'autospazio associato è dato da:
\( E_1 = \{ v \in \mathbb{R}^n : \forall i \in \{1,\ldots,n\} : v_i = v_{\pi(i)} \} \)
Dimostriamo che \( \dim E_1 >0 \). Ma questo è vero visto che \( f(\mathbf{1})=\mathbf{1} \) implica \( \mathbf{1} \in E_1 \).
Consideriamo \( \lambda_2=-1 \). Visto che \( \pi \) è una biiezione su l'insieme finito \( \{ 1, \ldots, n\} \), per ciascun \( i \in \{1, \ldots,n \} \) esiste un intero minimale \( 0
\( \forall i \in \{1,\ldots,n\} : v_i = (f_{\pi}(v))_i = v_{\pi(i)} \) e \( v \neq 0 \) (1)
Ma se \( n_i \equiv 1 \mod 2 \) per tutti gli \( i \) implica \( x_i=-x_i \) e l'unico vettore che soddisfa la condizione è \( \mathbf{0} \). Dunque \(-1\) non è un autovalore in questo caso.
Se esiste un \( k \in \{1, \ldots,n\} \) con \(n_k \equiv 0 \mod 2 \), otteniamo una serie
\( x_k = -x_{\pi(k)} = x_{\pi^2(k)}=-x_{\pi^3(k)}=\ldots=x_{\pi^{n_k}(k)}=x_k \)
Con \( \pi^i(k) \neq \pi^j(k) \) per \( i\neq j\) (visto che \(n_k \) è minimale). Il vettore \( x\neq 0 \) dato per
\[ x_i= \left\{\begin{matrix}
1 & i=\pi^j(k) & \text{per} & j \equiv 0 \mod 2\\
-1 & i=\pi^j(k) & \text{per} & j \equiv 0 \mod 2\\
0 & i\neq\pi^j(k) & \text{per ciascun} & j \in \{0,\ldots,n-1\}\\
\end{matrix}\right. \]
Soddisfa la condizione (1). Inoltre se esiste un \( n_k \equiv 0 \mod 2 \), \( \lambda_2=-1 \) è un autovalore e l'autospazio è dato da
\( E_{-1} = \{ v \in \mathbb{R}^n : \forall i \in \{1,\ldots,n\} : v_i = v_{\pi(i)} \} \)
-Non capisco come mai gli autospazi \( E_1 \) e \( E_{-1} \) sono i medesimi.
-Non dovrebbe essere \(-1 \), \( i=\pi^j(k) \ \text{per}\ j \equiv 1 \mod 2\) ?
-Perché dice che se \( n_k \equiv 0 \mod 2 \), allora \( \lambda_2=-1 \) è un autovalore ?
Risposte
Purtroppo adesso non sono abbastanza concentrato per leggere quello che hai scritto, ma una soluzione c'è pure qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Permutati ... properties
Forse ti è utile.
https://en.wikipedia.org/wiki/Permutati ... properties
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