Invarianza di autospazio
Non capisco le soluzioni di un esercizio, qualcuno potrebbe gentilmente farmi capire
Sia \( V \) uno spazio vettoriale di dimensione \( n \) su un corpo \( \mathbb{K}\) e \( f: V \rightarrow V \) un endomorphismo. Diciamo che un sottospazio vettoriale \( U \subset V \) è invariante per \( f \) se \( f(U) \subset U \). Dimostra che gli autospazi propri di \( f^n = f \circ f \ldots \circ f \) sono invariantei per \( f \).
Soluzione: Sia \( \lambda \) un autovalore di \( f^n \) e \( v_0 \in E_{\lambda} - \{0\} \). Per \( i=1,\ldots,n \) sia \( v_i = f(v_{i-1}) \), Abbiamo \(v_n = f^n(v_0) = \lambda v_0 \) e allo stesso modo
\( f^n (v_k) = f^n ( f^k(v_0))=f^{n+k}(v_0)=f^k(f^n(v_0))=f^k(\lambda v_0)=\lambda v_k \)
Per linearità di \(f \). Dunque \( v_k \in E_{\lambda} \), e in particolare \(v_1 \in E_{\lambda} \). Dunque l'autospazio \( E_{\lambda} \) è invariante per \(f\).
Sono d'accordo su tutto, ma non capisco proprio come mai può dire questo: sia \( v_i = f(v_{i-1}) \) ??
Sia \( V \) uno spazio vettoriale di dimensione \( n \) su un corpo \( \mathbb{K}\) e \( f: V \rightarrow V \) un endomorphismo. Diciamo che un sottospazio vettoriale \( U \subset V \) è invariante per \( f \) se \( f(U) \subset U \). Dimostra che gli autospazi propri di \( f^n = f \circ f \ldots \circ f \) sono invariantei per \( f \).
Soluzione: Sia \( \lambda \) un autovalore di \( f^n \) e \( v_0 \in E_{\lambda} - \{0\} \). Per \( i=1,\ldots,n \) sia \( v_i = f(v_{i-1}) \), Abbiamo \(v_n = f^n(v_0) = \lambda v_0 \) e allo stesso modo
\( f^n (v_k) = f^n ( f^k(v_0))=f^{n+k}(v_0)=f^k(f^n(v_0))=f^k(\lambda v_0)=\lambda v_k \)
Per linearità di \(f \). Dunque \( v_k \in E_{\lambda} \), e in particolare \(v_1 \in E_{\lambda} \). Dunque l'autospazio \( E_{\lambda} \) è invariante per \(f\).
Sono d'accordo su tutto, ma non capisco proprio come mai può dire questo: sia \( v_i = f(v_{i-1}) \) ??
Risposte
Beh, è una definizione... Chi gliela impedisce?
Ma perché è leggittimo fare quella definizione?
Perché $v_(i-1)\inV$.
Quindi insomma, ha dimostrato l'invarianza degli autospazi per \( f \) solo per come ha definito gli indici?
No, anche per i passaggi che ha fatto dopo.
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