Vettori ortogonali

[giulio013]

Fissato un riferimento cartesiano di uno spazio euclideo di dimensione 3, si considerino i punti $ A(1, 0, 1) $
$ B(2, 2, −1) $ $ C(1, 1, −1) $. Dire se i vettori AB e AC sono ortogonali. In caso di risposta negativa, determinare
le coordinate di un punto D tale che AD sia ortogonale a AB.

Volevo un piccolo confronto per sapere se il ragionamento fila:

$ AB (1,2,-2) $
$ AC (0, 1, -2) $

Il mio dubbio nel calcolo delle componenti dei vettori dati dai punti... non sono sicuro che si scrivano così, ovvero cercando la differenza tra i due punti.

So che due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare $ x(x_1) + yy_1 + zz_1 = 0 $ quindi:
$ 1*0 + 2*1 + -2*-2 != 0$

Mentre AB è ortogonale al vettore $ AD(0, 1, 1) $

corretto?

[anto_zoolander]

Ciao!

in genere quando fissi un riferimento $(O,e_1...e_n)$ per ogni punto $P$ puoi scrivere

$vec(OP)=lambda_1e_1+...+lambda_n e_n$

a cui puoi associare il vettore delle coordinate $X=(lambda_1,...,lambda_n)$

Le coordinate di un punto $P$ altro non sono che le componenti del vettore $vec(OP)$ rispetto alla base utilizzata.
Quindi è chiaro che se $P(p_1,...,p_n)$ e $Q(q_1,...,q_n)$ sono le coordinate di due punti, allora

$vec(PQ)=vec(OQ)-vec(OP)=q_1e_1+...+q_n e_n-p_1e_1-....-p_n e_n=(q_1-p_1)e_1+...+ (q_n-p_n)e_n$

se hai i punti $P(p_1,...,p_n)$ e $Q(q_1,...,q_n)$ in coordinate allora le coordinate del vettore $vec(PQ)$ sono

$vec(PQ)(q_1-p_1,...,q_n-p_n)$

Il resto è corretto

[giulio013]

Ciao, vediamo se ho capito: mi hai dato solo la teoria di ciò che ho fatto. Comunque l'esercizio è tutto corretto no? Perché come dici tu, per farmi il vettore dei due punti, ho calcolato la differenza delle coordinate con i corrispettivi $ x, y, z $

[anto_zoolander]

Esattamente. Si è corretto