Completamento a base
Salve ho difficoltà con questo esercizio:
Completare in una base dello spazio ambiente gli insiemi che tra i seguenti risultano essere
linearmente indipendenti:
(i) $ {(1, 0, 0, 1),(0, 1, 1, 0),(0, 1, 2, 0)} ⊆ R^4 $
(ii) $ {(0, 1, 0, 1),(1, 1, 0, 1),(2, 1, 0, 1)} ⊆ R^4 $
(iii) $ {x^2+ x, x + 1, 3 + x} ⊆ R^4[x] $
(iv) $ {(1, 1, 0),(1, 0, 1),(0, 1, 1)} ⊆ R^3 $
Per il completamento alla base io so che devo trovare un altro (od altri) vettore che sia linearmente indipendente a quelli già presenti. Per fare ciò uguaglio e tento con i vettori identità, facendo, per esempio:
a(1,0,0,1) + b(0,1,1,0) + c(0,1,2,0) = (1,0,0,0)
Faccio il sistema e risolvo, se questo mi da a = b = c = 0 allora ho trovato il vettore, altrimenti provo con gli altri vettori identità fino a che non lo trovo. La domanda è: se non lo trovassi usando tutti i vettori identità? Ed il terzo esercizio come lo riscrivo?
Completare in una base dello spazio ambiente gli insiemi che tra i seguenti risultano essere
linearmente indipendenti:
(i) $ {(1, 0, 0, 1),(0, 1, 1, 0),(0, 1, 2, 0)} ⊆ R^4 $
(ii) $ {(0, 1, 0, 1),(1, 1, 0, 1),(2, 1, 0, 1)} ⊆ R^4 $
(iii) $ {x^2+ x, x + 1, 3 + x} ⊆ R^4[x] $
(iv) $ {(1, 1, 0),(1, 0, 1),(0, 1, 1)} ⊆ R^3 $
Per il completamento alla base io so che devo trovare un altro (od altri) vettore che sia linearmente indipendente a quelli già presenti. Per fare ciò uguaglio e tento con i vettori identità, facendo, per esempio:
a(1,0,0,1) + b(0,1,1,0) + c(0,1,2,0) = (1,0,0,0)
Faccio il sistema e risolvo, se questo mi da a = b = c = 0 allora ho trovato il vettore, altrimenti provo con gli altri vettori identità fino a che non lo trovo. La domanda è: se non lo trovassi usando tutti i vettori identità? Ed il terzo esercizio come lo riscrivo?
Risposte
a) impara ad usare l'editor, oramai hai 71 messaggi alle spalle
b) prima controlla che i vettori dati siano indipendenti e in caso seleziona un sottoinsieme di vettori lin. indip.
c) poi eventualmente aggiungi i vettori necessari al completamento della base per generare lo specifico spazio.
b) prima controlla che i vettori dati siano indipendenti e in caso seleziona un sottoinsieme di vettori lin. indip.
c) poi eventualmente aggiungi i vettori necessari al completamento della base per generare lo specifico spazio.
Nel primo solo i primi due vettori sono lin. indipendenti fra di loro, quindi devo cercarmi altre due basi con i primi due vettori o dire che non può essere completato?
Nel secondo i tre vettori sono lin. indipendenti fra di loro, quindi applico la procedura descritta nel messaggio principale?
Il terzo come lo dovrei riscrivere?
Il quarto è già completo visto che sono tre vettori lin. indipendenti in dimensione R3?
Nel secondo i tre vettori sono lin. indipendenti fra di loro, quindi applico la procedura descritta nel messaggio principale?
Il terzo come lo dovrei riscrivere?
Il quarto è già completo visto che sono tre vettori lin. indipendenti in dimensione R3?
"giulio0":
Nel primo solo i primi due vettori sono lin. indipendenti fra di loro, quindi devo cercarmi altre due basi con i primi due vettori o dire che non può essere completato?
Nel secondo i tre vettori sono lin. indipendenti fra di loro, quindi applico la procedura descritta nel messaggio principale?
A me risulta l'opposto, avrai invertito i problemi 1) e 2).
Quindi nel primo ci sono tre vettori lin. indip. e quindi ne manca uno per completare una base per $R^4$
Nel secondo ci sono due vettori lin. indip., quali? Uno dovrai sceglierlo per forza...e mancheranno due vettori per completare la base.
"giulio0":
Il terzo come lo dovrei riscrivere?
Che spazio è?
"giulio0":
Il quarto è già completo visto che sono tre vettori lin. indipendenti in dimensione R3?
E questo è esatto.
Il terzo lo spazio è $ R^4 $ quindi?
"giulio0":
Il terzo lo spazio è $ R^4 $ quindi?
Quindi non sai che è lo spazio dei polinomi di grado inferiore o uguale a 4.
Davvero ti hanno dato un esercizio di non sai nulla?
tralasciando che lavoro per mantenermi gli studi e non ho potuto seguire il corso, questi che sto facendo sono esercizi di riepilogo di tutto l'anno. So che quello indica il massimo grado del polinomio. Provo a scriverlo:
$ ((0,1,1,0)) , (( 1,1,0,0)), ((3,1,0,0)) $ ??
$ ((0,1,1,0)) , (( 1,1,0,0)), ((3,1,0,0)) $ ??
Giulio, stavo solo dicendo che se non sai quale è l'oggetto del problema allora come fai a risolverlo?
Mancano i termini alla terza e alla quarta. Una base completata per esempio è:
$ {x^4,x^3,x^2+ x, x + 1, 3 + x}$
Mancano i termini alla terza e alla quarta. Una base completata per esempio è:
$ {x^4,x^3,x^2+ x, x + 1, 3 + x}$
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