Dimostrazione determinante.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Qualcuno sarebbe in grado di aiutarmi nell'darmi l'idea iniziale per poter dimostrare quanto richiesto
Sia \( n \geq 0 \) un numero intero, \( K \) un campo, \( x_0, x_1 , \ldots, x_n \in K\), e \( A \in K^{(n+1)\times (n+1)} \) la matrice definita da
\[ A=\begin{pmatrix}
1& x_0 &\cdots &x_0^n \\
1 & x_1 & \cdots &x_1^n \\
\vdots & \vdots& \vdots &\vdots \\
1 &x_n &\cdots &x_n^n
\end{pmatrix} \]
Dimostrare che \( \det(A)=\prod\limits_{n\geq j>i\geq0} (x_j-x_i) \)

Io so che la definizione di determinante è la seguente \( \det(A):=\sum\limits_{\sigma \in S_{n+1}} \operatorname{sgn}(\sigma)\prod\limits_{k=1}^{n+1} a_{k\sigma(k)} \)
Pensavo di dimostrare che \(\sum\limits_{\sigma \in S_{n+1}} \operatorname{sgn}(\sigma)\prod\limits_{k=1}^{n+1} a_{k\sigma(k)} \leq \prod\limits_{n\geq j>i\geq0} (x_j-x_i) \) e che \(\prod\limits_{n\geq j>i\geq0} (x_j-x_i) \leq \sum\limits_{\sigma \in S_{n+1}} \operatorname{sgn}(\sigma)\prod\limits_{k=1}^{n+1} a_{k\sigma(k)} \), ma non so come fare.

[gugo82]

Induzione?

Ad ogni buon conto, il determinante di Vandermonde (si chiama così) è un classico e si trova su molti testi.

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In effetti per induzione era abbastanza semplice, ti ringrazio