Quesito spazi vettoriali

[Ale1121]

Ciao, voi come rispondereste a questa domanda:
Sia v=(1,2,1,1). Determinare se esistono tre vettori v1 v2 v3 linearmente indipendenti tali che {v,v1,v2,v3}
Sia insieme libero ma L(v) + L(v1,v2,v3) NON sia diretta

[Ale1121]

Io anche se è banale come risposta direi che non esistono dato che,se sono linearmente indipendenti, una base per l'insieme è proprio {v,v1,v2,v3} che avendo dimensione 4 è tale che l'intersezione abbia solo la soluzione banale

[dissonance]

Si, è giusta la tua risposta, solo sbagli a dire "una base per l'insieme". Quale insieme?

[Ale1121]

Si capito,grazie mille:)

[vict85]

In realtà, il problema non ha a che fare con il concetto di base. Infatti, se prendi \(\displaystyle \mathbb{v}\in V \), con \(V\) spazio vettoriale di dimensione almeno \(\displaystyle 4 \), e un sottospazio \(\displaystyle H \) di dimensione \(\displaystyle 3 \), allora non puoi avere al contempo \(\displaystyle \dim( \mathbb{R}\mathbb{v} + H ) = 4 \) e \(\displaystyle \mathbb{R}\mathbb{v} \cap H \neq \mathbf{0} \). Infatti se \(\displaystyle \mathbb{R}\mathbb{v} \cap H \neq \mathbf{0} \) allora \(\displaystyle \mathbb{v} \in \mathbb{R}\mathbb{v} \cap H \subset H \), ovvero \(\displaystyle \dim( \mathbb{R}\mathbb{v} + H ) = \dim( H ) = 3\). Similmente, partendo da \(\displaystyle \dim( \mathbb{R}\mathbb{v} + H ) = 4 \) si ricava che \(\displaystyle \mathbb{v} \notin H \) e che quindi i due sottospazi vettoriali devono avere intersezione nulla.

Il tutto può essere fatto con la sola definizione di vettori linearmente indipendenti. Se \(\{\mathbb{v}, \mathbb{v}_1, \mathbb{v}_2, \mathbb{v}_3\}\) allora ogni vettore di \(\mathrm{span}(\mathbb{v}, \mathbb{v}_1, \mathbb{v}_2, \mathbb{v}_3)\) si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori \(\{\mathbb{v}, \mathbb{v}_1, \mathbb{v}_2, \mathbb{v}_3\}\). Il fatto che quella somma non sia diretta, vuol dire che esiste almeno un vettore che si può scrivere in almeno 2 modi come composizione lineare dei vettori \(\{\mathbb{v}, \mathbb{v}_1, \mathbb{v}_2, \mathbb{v}_3\}\). Il controsenso è abbastanza ovvio.