Funzioni Proprie

[manuelb9393]

Buongiorno, premetto che non sono sicuro di trovarmi nella sezione corretta, ma ho affrontato le funzioni proprie durante il corso di Geometria Differenziale e ho visto che le domande che la riguardano vengono poste in questa sezione, quindi qui la pubblico.

L'esercizio che mi crea problemi recita: Dire se puo' esistere una funzione propria $f:mathbb(R^2)->mathbb(R^2)$ tale che $f(mathbb(R^2))=mathbb(R^2)\\{0}$.

Ricordo che una funzione C-infinito e continua viene detta propria se la controimmagine di ogni compatto del codominio e' un insieme compatto del dominio.

Il mio primo ragionamento consiste nel dire che, per la non suriettivita` della funzione, allora se esistesse una funzione siffatta dovrebbe avere grado nullo.

Qualcuno potrebbe gentilmente fornirmi qualche spunto?

[otta96]

Credo che la sezione migliore sarebbe stata quella di geometria, ad ogni modo puoi prendere un diffeomorfismo tra $RR^2$ e un disco (aperto) non contenente l'origine.

[manuelb9393]

"otta96":puoi prendere un diffeomorfismo tra $ RR^2 $ e un disco (aperto) non contenente l'origine.

Posso chiederti gentilmente un esempio?

[otta96]

Scusa ma prima ero da telefono e avevo letto male, lascia perdere quello che ti ho detto. Ci penserò.
P.S. Ma lo sai vero che i cerchi sono diffeomorfi a $RR^2$?

[manuelb9393]

"otta96":Ma lo sai vero che i cerchi sono diffeomorfi a R2

So che in generale $mathbb(D)^n$ e` diffeomorfo a $mathbb(R)^n$. Ad esempio mediante $f(x)=x/sqrt(1-||x||^2)$.

Pero', a parte togliendo "manualmente" l'origine, come si puo' fare?

[Gabrielek]

"manuelb9393":Dire se puo' esistere una funzione propria $ f:mathbb(R^2)->mathbb(R^2) $ tale che $ f(mathbb(R^2))=mathbb(R^2)\\{0} $.

Dovresti dimostrarlo con questa proposizione:

Siano $ X, Y $ spazi metrici, $ f: X -> Y $ continua e propria. Allora $ f $ è anche chiusa .
(ovvero : $ f(C) \in Y $ è chiuso se $ C \in X $ è chiuso)

[manuelb9393]

"Gabrielek":[quote="manuelb9393"]Dire se puo' esistere una funzione propria $ f:mathbb(R^2)->mathbb(R^2) $ tale che $ f(mathbb(R^2))=mathbb(R^2)\\{0} $.

Dovresti dimostrarlo con questa proposizione:

Siano $ X, Y $ spazi metrici, $ f: X -> Y $ continua e propria. Allora $ f $ è anche chiusa .
(ovvero : $ f(C) \in Y $ è chiuso se $ C \in X $ è chiuso)[/quote]

Giusto, posso dire che essendo $mathbb(R)^2$ chiuso in se stesso, f non può essere propria perché $f(mathbb(R)^2)=mathbb(R)^2\\{0}$ non è un chiuso in $mathbb(R)^2$. Insomma f propria implica f chiusa e dunque f non chiusa implica f non propria.

Può andare?

[otta96]

No perché il piano meno l'origine è chiuso IN SÉ STESSO.

[manuelb9393]

"otta96":No perché il piano meno l'origine è chiuso IN SÉ STESSO.

Però la funzione è definita da $mathbb(R)^2$ a $mathbb(R)^2$... cioè $f(mathbb(R)^2)$ è sottoinsieme proprio del condominio (ossia f non è suriettiva). Per questo ho affermato quanto detto sopra...

Se sbaglio a ragionare ti chiedo un aiuto o uno spunto di riflessione perché non sto capendo

[otta96]

Scusa hai ragione di nuovo, avevo letto male di nuovo. Allora funziona come dicevi, per scusarmi dall'averti confus* ti fornisco un'altra dimostrazione, più diretta: se una tale funzione $f$ esistesse in particolare sarebbe continua e $f^(-1)(\bar{B(0,1)})$ sarebbe compatto, e quindi anche $f(f^(-1)(\bar{B(0,1)}))=\bar{B(0,1)}\setminus{0}$ lo sarebbe, assurdo.