Equazione di un'iperbole
Buonasera a tutti! Vi propongo questo esercizio riguardante un'iperbole.
Scrivere l'equazione dell'iperbole passante per $P=(-3,1)$ e di fuochi $F_1=(0,-1)$, $F_2=(-1,2)$.
So che l'equazione canonica di un'iperbole passante per l'asse delle y è $x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1$.
Sapendo che $c^2=a^2+b^2$ e che $c$ rappresenta le coordinate dei fuochi posso imporre la seguente condizione su $a$ e $b$: $a^2+b^2 = 5/2$ dato che $c = (dist(F_1,F_2))/2 = sqrt(10)/2$. Mi servirebbe un'altra condizione su $a$ e $b$ per riuscire a ricavarmi l'equazione richiesta.
Scrivere l'equazione dell'iperbole passante per $P=(-3,1)$ e di fuochi $F_1=(0,-1)$, $F_2=(-1,2)$.
So che l'equazione canonica di un'iperbole passante per l'asse delle y è $x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1$.
Sapendo che $c^2=a^2+b^2$ e che $c$ rappresenta le coordinate dei fuochi posso imporre la seguente condizione su $a$ e $b$: $a^2+b^2 = 5/2$ dato che $c = (dist(F_1,F_2))/2 = sqrt(10)/2$. Mi servirebbe un'altra condizione su $a$ e $b$ per riuscire a ricavarmi l'equazione richiesta.
Risposte
Se fosse l'iperbole che pensi allora i fuochi avrebbero entrambi ascissa 0.
P.S. Una seconda condizione ce l'hai dal passaggio per il punto P.
P.S. Una seconda condizione ce l'hai dal passaggio per il punto P.
Io sto cercando di trovare l'equazione dell'iperbole in forma canonica, poi la traslo e la ruoto. Quindi le coordinate dei fuochi dell'iperbole in forma canonica saranno $(0,c/2) , (0,-c/2)$.
Però forse il mio ragionamento non è corretto.
Però forse il mio ragionamento non è corretto.
Ok, in questo caso sarebbero i punti $(0,c) , (0,-c)$
Io preferirei l'iperbole con i fuochi sull'asse delle X $(c,0) , (-c,0)$
Il problema è che non puoi sfruttare l'informazione sul punto P se non fai prima la traslazione + rotazione.
Trova prima il punto di mezzo fra i due fuochi: dovrà diventare la tua nuova origine, quindi lo sottrarrai da tutti i punti.
Poi trova la rotazione che porta il segmento traslato $F_1F_2$ sopra l'asse delle x...e applica la trasformazione anche a P traslato. A questo punto avrai le info necessarie per determinare $x^2/a^2-y^2/b^2=1$
Io preferirei l'iperbole con i fuochi sull'asse delle X $(c,0) , (-c,0)$
Il problema è che non puoi sfruttare l'informazione sul punto P se non fai prima la traslazione + rotazione.
Trova prima il punto di mezzo fra i due fuochi: dovrà diventare la tua nuova origine, quindi lo sottrarrai da tutti i punti.
Poi trova la rotazione che porta il segmento traslato $F_1F_2$ sopra l'asse delle x...e applica la trasformazione anche a P traslato. A questo punto avrai le info necessarie per determinare $x^2/a^2-y^2/b^2=1$
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