Prodotto esterno tensoriale
Ciao, ho difficoltà a capire come poter risolvere questo problema! Purtroppo non ho molti appunti e mi devo rivolgere a voi perché su internet non trovo molto sull’argomento.
Devo trovare il prodotto esterno tra:
$\omega$ = $(e^y)*dx^^dz$
$\eta$ = $z*dy$
Tra l’altro so che $\omega$ appartiene a $\Omega^2(R^3)$ e $\eta$ appartiene a $\Omega^1(R^3)$
Grazie in anticipo per l’aiuto
Devo trovare il prodotto esterno tra:
$\omega$ = $(e^y)*dx^^dz$
$\eta$ = $z*dy$
Tra l’altro so che $\omega$ appartiene a $\Omega^2(R^3)$ e $\eta$ appartiene a $\Omega^1(R^3)$
Grazie in anticipo per l’aiuto
Risposte
Il prodotto tra due forme differenziali si fa antisimmetrizzando completamente il loro prodotto tensoriale, ovvero tenendo a mente che \(\land\) è l'applicazione blineare alternante universale tra \(\Omega^p\otimes \Omega^q\) e \(\Omega^{p+q}\): questo significa che il prodotto \(\omega\land \eta\) si fa espandendo il prodotto
\[
(e^y \; dx\land dz)\land (z \; dy) = e^y z \; dx \land dz \land dy = -e^y z \; dx\land dy\land dz
\]
dove si tiene conto che \(dx\land dz\land dy = - dx \land dy\land dz\) e più in generale che
\[
dx_{\sigma 1}\land dx_{\sigma 2}\land\dots\land dx_{\sigma n} = (-1)^\sigma dx_1 \land \dots \land dx_n
\] per ogni permutazione $\sigma : [n]\to [n]$.
\[
(e^y \; dx\land dz)\land (z \; dy) = e^y z \; dx \land dz \land dy = -e^y z \; dx\land dy\land dz
\]
dove si tiene conto che \(dx\land dz\land dy = - dx \land dy\land dz\) e più in generale che
\[
dx_{\sigma 1}\land dx_{\sigma 2}\land\dots\land dx_{\sigma n} = (-1)^\sigma dx_1 \land \dots \land dx_n
\] per ogni permutazione $\sigma : [n]\to [n]$.
Okay grazie mille! Invece se dovessi calcolare $\eta^^\omega$ avrei lo stesso risultato ma con segno diverso. Giusto? Perché non vale la proprietà commutativa ma la anticommutativa
Certo, sì.
Grazie mille 
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