Endomorfismo diagonalizzabile al variare di un parametro
Salve sto preparando l'esame di Geometria ed Algebra lineare ed ho molti dubbi su questo esercizio, spero qualcuno possa aiutarmi.
$ f_h : (x,y,z) in RR^3 -> (h x+y+2z, x+h y+hz,2z) in RR^3 $
Scrivo la matrice associata
$ A= ((h,1,2),(1,h,h),(0,0,2)) $
la sottraggo alla matrice identità moltiplicata per $lambda$
$ A - lambda I = ((h,1,2),(1,h,h),(0,0,2)) - ((lambda, 0, 0),(0, lambda, 0),(0,0, lambda)) = ((h- lambda,1,2),(1,h- lambda,h),(0,0,2- lambda)) $
Il determinante della matrice ottenuta mi risulta essere:
$ det( A - lambda I) = (2- lambda)[(h- lambda)^2-1] $
Pongo il determinante uguale a 0 e ottengo i tre autovalori
$ lambda_1 =2, lambda_2 =h-1, lambda_3 =h+1 $
E qui iniziano i miei dubbi in quanto ottengo che
per $ h\ne 3$ e $ h\ne1 $ ottengo 3 autovalori distinti ciascuno con molteplicità algebrica 1 quindi la matrice mi risulta essere diagonalizzabile.
Ma ad esempio per $ h=3 $ ottengo che $ lambda_1 = lambda_2 =2 $ con molteplicità algrebrica pari a due ma molteplicità geometrica pari a 1, e stessa cosa per $ h=1 $ (dove $ lambda_1 =lambda_3 =2$) quindi mi risulta che per $ h=3 $ e $h=1 $ la matrice di partenza non è diagonalizzabile mentre dovrebbe risultare diagonalizzabile per ogni h (seguendo i risultati del mio professore).
Ringrazio anticipatamente l'aiuto di qualcuno
$ f_h : (x,y,z) in RR^3 -> (h x+y+2z, x+h y+hz,2z) in RR^3 $
Scrivo la matrice associata
$ A= ((h,1,2),(1,h,h),(0,0,2)) $
la sottraggo alla matrice identità moltiplicata per $lambda$
$ A - lambda I = ((h,1,2),(1,h,h),(0,0,2)) - ((lambda, 0, 0),(0, lambda, 0),(0,0, lambda)) = ((h- lambda,1,2),(1,h- lambda,h),(0,0,2- lambda)) $
Il determinante della matrice ottenuta mi risulta essere:
$ det( A - lambda I) = (2- lambda)[(h- lambda)^2-1] $
Pongo il determinante uguale a 0 e ottengo i tre autovalori
$ lambda_1 =2, lambda_2 =h-1, lambda_3 =h+1 $
E qui iniziano i miei dubbi in quanto ottengo che
per $ h\ne 3$ e $ h\ne1 $ ottengo 3 autovalori distinti ciascuno con molteplicità algebrica 1 quindi la matrice mi risulta essere diagonalizzabile.
Ma ad esempio per $ h=3 $ ottengo che $ lambda_1 = lambda_2 =2 $ con molteplicità algrebrica pari a due ma molteplicità geometrica pari a 1, e stessa cosa per $ h=1 $ (dove $ lambda_1 =lambda_3 =2$) quindi mi risulta che per $ h=3 $ e $h=1 $ la matrice di partenza non è diagonalizzabile mentre dovrebbe risultare diagonalizzabile per ogni h (seguendo i risultati del mio professore).
Ringrazio anticipatamente l'aiuto di qualcuno
Risposte
Controlla di nuovo i conti… E tieni presente che i professori non sono infallibili.
Ciao Gwen98
I conti che hai fatto sono corretti.
Per $lambda=2$ la matrice è $ ( ( h-2 , 1 , 2 ),( 1 , h-2 , h ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ e per $h=3$ o $h=1$ è quasi immediato vedere che ha sempre rango 2. E' altamente improbabile che il prof non se ne sia accorto
Forse hai preso male gli appunti...ma hai risolto correttamente l'esercizio
I conti che hai fatto sono corretti.
Per $lambda=2$ la matrice è $ ( ( h-2 , 1 , 2 ),( 1 , h-2 , h ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ e per $h=3$ o $h=1$ è quasi immediato vedere che ha sempre rango 2. E' altamente improbabile che il prof non se ne sia accorto
Forse hai preso male gli appunti...ma hai risolto correttamente l'esercizio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo