Coni quadratici e quadriche
Salve, vorrei provare che un cono quadratico è una quadrica
dove con $PV$ s'intende la retta che passa per $P$ e $V$. Ora i miei appunti, attraverso esempi, fanno vedere che un cono quadratico è una quadrica, cioè il luogo degli zeri di un polinomio omogeno di secondo grado nelle incognite $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$
C'è un modo più formale per affermarlo?
Un mio tentativo è questo : so che sussistono queste due caratterizzazioni
Posso partire da questi risultati ampliandoli proiettivamente?
Come fareste?
Nello spazio proiettivo, sia $\pi$ un piano, $\Gamma$ una sua conica e $V$ un punto non appartenente a $\pi$. Si dice cono quadratico di vertice $V$ e generatrice $\Gamma$ l'insieme
\[
\mbox{Sc}(V,\Gamma)=\bigcup_{P\in \Gamma}PV
\]
dove con $PV$ s'intende la retta che passa per $P$ e $V$. Ora i miei appunti, attraverso esempi, fanno vedere che un cono quadratico è una quadrica, cioè il luogo degli zeri di un polinomio omogeno di secondo grado nelle incognite $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$
C'è un modo più formale per affermarlo?
Un mio tentativo è questo : so che sussistono queste due caratterizzazioni
Nello spazio affine reale, un cono di vertice l'origine del sistema di riferimento è rappresentato da un'equazione $f(x,y,z)=0$, con $f\in \RR[x,y,z]$ polinomio omogeno di secondo grado
Nello spazio affine reale, un cilindro con direttrici parallele ad uno degli assi è rappresentato da un'equazione $f(x,y,z)=0$, con $f\in \RR[x,y,z]$ polinomio di secondo grado in cui manca un termine quadratico
Posso partire da questi risultati ampliandoli proiettivamente?
Come fareste?
Risposte
C'è qualcosa che non va nelle definizioni che hai scritto, perché dimentichi di specificare la condizione di cono: la condizione di cono è che esiste un punto $p$ tale che per ogni altro punto $q$ sulla quadrica, la retta $pq$ è contenuta nel (supporto del)la quadrica. Grosso modo ogni altra definizione di cono è uguale a questa.
Equazionalmente, non stai dicendo molto altro che "esiste un punto \(p=(x_0,\dots, x_n)\) con la proprietà che \(F(p + t(q-p)) = 0\)" per ogni altro $q$ tale che $F(q)=0$, se $F$ è il polinomio che definisce la quadrica.
Equazionalmente, non stai dicendo molto altro che "esiste un punto \(p=(x_0,\dots, x_n)\) con la proprietà che \(F(p + t(q-p)) = 0\)" per ogni altro $q$ tale che $F(q)=0$, se $F$ è il polinomio che definisce la quadrica.
Grazie per la risposta. Quella che citi è una mia definizione a posteriori nel piano proiettivo : cioè, un cono quadratico è una quadrica con un unico punto doppio (giusto?). Inoltre, nella mia definizione $V$ non assolve ai compiti di $p$?
Parlo di quando traduci la condizione di cono dando condizioni su dei polinomi.
Scusami ma non ti sto capendo. Se parto dalla mia definizione come posso arrivare a dire che un cono o un cilindro è una quadrica? Cioè, come posso imporre la tua condizione se non so che un cono/cilindro è una quadrica?
Ti faccio un esempio pratico per farti capire cosa voglio fare. In questo file https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/157431 alle pagine 133-134 costruisce l'equazione di un cono . Io vorrei trovare un modo più formale per generalizzare quel procedimento
Grazie ancora
Ti faccio un esempio pratico per farti capire cosa voglio fare. In questo file https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/157431 alle pagine 133-134 costruisce l'equazione di un cono . Io vorrei trovare un modo più formale per generalizzare quel procedimento
Grazie ancora
Ripartiamo, infatti, perché non so se ci stiamo capendo.
Se $V$ è un $K$-spazio vettoriale, una quadrica su \(\mathbb{P}(V)\) è una (classe di equivalenza) di forma/e bilineare/i rispetto alla relazione di proporzionalità non nulla: lo spazio vettoriale delle applicazioni bilineari \(\text{Bil}(V) \cong \hom_K(V\otimes V, k)\cong (V\otimes V)^\star\) viene quozientato rispetto alla relazione di equivalenza che dice che $q\approx q'$ se esiste uno scalare non nullo $\alpha$ tale che $q' = \alpha q$.
Nell'ovvia identificazione tra forme quadratiche e polinomi omogenei di secondo grado, una quadrica è descritta da un(a classe di equivalenza di) polinomi omogenei di grado 2 nelle coordinate proiettive $X_0,..., X_n$; nell'ovvia identificazione tra lo spazio di questi polinomi e le matrici simmetriche a coefficienti in $K$, riesci ad associare una matrice simmetrica a una quadrica $\mathcal Q$, cioè a un polinomio \(p_{\mathscr Q}\), i cui ingressi sono univocamente determinati dai coefficienti di \(p_{\mathscr Q}\) nel modo che sicuramente conosci.
Ora, Una quadrica $\mathcal Q$ è un cono quadrico se esiste almeno un punto $P$ del supporto di $\mathcal Q$ con la
proprietà che, preso comunque un altro punto $Q$ del supporto, allora la retta $P \vee Q$ è tutta contenuta nel supporto
di $\mathcal Q$. Questa è una proprietà geometrica che non dipende dalla espressione di $\mathcal Q$ come classe di proporzionalità di polinomi quadratici. I punti con la proprietà di cono, formano quello che si chiama il vertice del cono.
Inoltre, una quadrica è degenere se e solo se è un cono quadrico. Quindi questa condizione è solo un altro nome per una nozione che hai già, e che in algebra lineare si traduce immediatamente in una condizione sulla matrice che rappresenta $\mathcal Q$: come conseguenza infatti, una quadrica è un cono quadrico se, e solo se, la sua matrice associata è singolare. Prova a dimostrare, ora, che il nucleo di $A$ ha come varietà proiettiva associata precisamente il vertice di $\mathcal Q$.
[ot]
PS: sento fin da qui il rumore di Cristo che scende dalla croce per inchiodarci chi ha (non-)TeXato questo aborto.[/ot]
Se $V$ è un $K$-spazio vettoriale, una quadrica su \(\mathbb{P}(V)\) è una (classe di equivalenza) di forma/e bilineare/i rispetto alla relazione di proporzionalità non nulla: lo spazio vettoriale delle applicazioni bilineari \(\text{Bil}(V) \cong \hom_K(V\otimes V, k)\cong (V\otimes V)^\star\) viene quozientato rispetto alla relazione di equivalenza che dice che $q\approx q'$ se esiste uno scalare non nullo $\alpha$ tale che $q' = \alpha q$.
Nell'ovvia identificazione tra forme quadratiche e polinomi omogenei di secondo grado, una quadrica è descritta da un(a classe di equivalenza di) polinomi omogenei di grado 2 nelle coordinate proiettive $X_0,..., X_n$; nell'ovvia identificazione tra lo spazio di questi polinomi e le matrici simmetriche a coefficienti in $K$, riesci ad associare una matrice simmetrica a una quadrica $\mathcal Q$, cioè a un polinomio \(p_{\mathscr Q}\), i cui ingressi sono univocamente determinati dai coefficienti di \(p_{\mathscr Q}\) nel modo che sicuramente conosci.
Ora, Una quadrica $\mathcal Q$ è un cono quadrico se esiste almeno un punto $P$ del supporto di $\mathcal Q$ con la
proprietà che, preso comunque un altro punto $Q$ del supporto, allora la retta $P \vee Q$ è tutta contenuta nel supporto
di $\mathcal Q$. Questa è una proprietà geometrica che non dipende dalla espressione di $\mathcal Q$ come classe di proporzionalità di polinomi quadratici. I punti con la proprietà di cono, formano quello che si chiama il vertice del cono.
Inoltre, una quadrica è degenere se e solo se è un cono quadrico. Quindi questa condizione è solo un altro nome per una nozione che hai già, e che in algebra lineare si traduce immediatamente in una condizione sulla matrice che rappresenta $\mathcal Q$: come conseguenza infatti, una quadrica è un cono quadrico se, e solo se, la sua matrice associata è singolare. Prova a dimostrare, ora, che il nucleo di $A$ ha come varietà proiettiva associata precisamente il vertice di $\mathcal Q$.
[ot]
[...] https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... ico/157431 [...]
PS: sento fin da qui il rumore di Cristo che scende dalla croce per inchiodarci chi ha (non-)TeXato questo aborto.[/ot]
Detto questo, una procedura generale per ottenere coni quadrici si dà alla luce dell'ultima osservazione: prendi un sottospazio $W$ di \(\mathbb{P}(V)\) (diciamo che $W$ ha dimensione $k$ nello spazio di dimensione $n$), che sarà il vertice del cono che vai costruendo, e una quadrica $\mathcal Q_{n-1}$ in un iperpiano $H$ di \(\mathbb{P}(V)\) disgiunto da $W$; traccia la retta che unisce il generico punto di $W$ al generico punto della quadrica $\mathcal Q_{n-1}$; questa è una rappresentazione implicita del cono quadrico di vertice $W$, e sezione conica $\mathcal Q_{n-1}$ nell'iperpiano $H$.
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