Geometria e Algebra Lineare

Buongiorno. Sono alle prese con lo studio delle coordinate curvilinee e delle basi locali. Tuttavia vi sono alcuni aspetti che non riesco ben a comprendere, e spero di trovare una delucidazione. Il problema basilare è quello di collegare uno spazio di coordinate cartesiane ad un sistema di egual numero di coordinate curvilinee, per tramite di una trasformazione di coordinate localmente invertibile. Al sistema delle coordinate cartesiane associamo una base costituita da versori ortonormali, ...

Buongiorno, so che $\mathbb{K}[x]$, insieme dei polinomi su $\mathbb{K}$ nell'indeterminata $x$, non è finitamente generato in quanto qualunque sistema $S$ di generatori si consideri, con $t$ massimo grado tra i polinomi di $S$, non è possibile generare polinomi di grado $s>t$. Come si dimostra tale risultato?

Sia $B={v1...vn}$ una base di $V$(spazio vettoriale su K) e $C={w1...wa}$ una base di $W$(sottospazio vettoriale di V).Esiste $D{w1...wa,v(a+1)...vn}$ che è base di $V$. Definito $Z=span{v(a+1)...vn}$ verificare che $Z$ è COMPLEMENTO di $W$ cioè: $1)$ $V=Z+W$ $2)$ $Z nn W= \phi$ Purtroppo non abbiamo mai fatto esercizi del genere e con la sola teoria mi trovo in difficoltà: Ho ...

ciao ragazzi mi rivolgo a voi perché mi sto rassegnando con la dimostrazione di questa proposizione che non riesco a capire: Sia un prodotto scalare definito positivo allora è anche non degenere. qualcuno me lo saprebbe dimostrare con tutti i passaggi semplici ? grazie tante.

Salve ho un dubbio sulla risoluzione del seguente problema: data la matrice $ N=| ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) | $ trovare una base del sottospazio E di Mat(2x2) definito come segue $ E= A in Mat(2*2) : AN=NA $ io l'ho svolto trovando la matrice inversa di N e quindi una base di E è data da $ N^-1 N= I $ Poi mi chiede di determinare una base e la dimensione del sottospazio di E di Mat(3x3) formato dalle matrici simmetriche aventi traccia nulla , e qui non sono riuscito a tirare fuori un ragionamento logico ...

Siano $V$ e $W$ due $KK$-spazi vettoriali con $dim(V)=n$ e $dim(W)=m$. Siano $f_1$,$f_2$,...,$f_m in V*$ e ${w_1,...,w_m}$ una base di $W$. Mostrare che $T(v)= \sum_(i=1)^m f_i(v)w_i$ è un'applicazione lineare di $V$ in $W$. In seguito provare che ogni applicazione lineare da $V$ in $W$ può essere scritta nella forma precedente dopo aver scelto ...

Ciao, cercavo un esempio spazio topologico che mostrasse che l'essere secondo numerabile non è un invariante per omotopia di spazi. Pensavo ad $l^\infty$ con la topologia indotta dalla solita norma/metrica del sup, che essendo metrizzabile e non separabile non è secondo numerabile. D'altra parte è uno spazio normato e quindi (penso?) contraibile e quindi omotopo a un punto che invece è ovviamente secondo numerabile. Ha senso? O ho detto una sequenza di cavolate? In caso qualcuno ...

Salve a tutti, sto cercando di risolvere un compito proposto in passato presso la mia facoltà di ingegneria. Ho provato a svolgerlo, ma non ho modo di verificare se il procedimento e le considerazioni fatte siano corrette. L'esercizio è il seguente: Sia \( \{\ e_{1}, e_{2}, e_{3} \}\ \) la base canonica di \( \Re^3 \) e \( f:\Re ^3\rightarrow \Re ^4 \) data da : \( f(e_{1})=\begin{pmatrix} 1 \\ k \\ 1 \\ k \end{pmatrix}, f(e_{2})=\begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 1 \\ k, \end{pmatrix}, ...

Si stabilisca per quali valori di k i vettori di \(\displaystyle \Re ^3 \) \(\displaystyle v=(k-1,2,3) , w=(0,-1,0)\) e \(\displaystyle z=(0,0,5) \) a) sono generatori di \(\displaystyle \Re ^3 \); b) formano una base di \(\displaystyle \Re ^3 \); c) sono linearmente dipendenti; per il punto c) pensavo di calcolare il determinante della matrice contenente i tre vettori e vedere quando il rango è inferiore o uguale a 3. per il punto a) volevo verificare se è possibile esprimere uno dei ...

Salve a tutti , espongo il seguente problema: Siano U e W i seguenti sottospazi di R^4: $ U=L| ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , -2 ),( 0 , -1 , 1 ) | $ ; $ W= (x1,x2,x3,x4)in R^4 : x1+x2-x3+x4=0 $ il primo punto mi chiede di deteminare una base e la dimensione di U , dal calcolo ottengo che la DIM U=2 e una base è formata da $ B(U)=[(1,1,0,0)^t ;(1,0,2,-1)^t] $ mentre il secondo punto mi chiede di trovare la Dim W che dal calcolo ottengo che è uguale a 3 e una sua base è $ B(W)[(1,0,0,-1);(0,1,0,-1);(0,0,1,1)] $ . Ora il terzo punto mi chiede di :Trovare tutti i vettori di norma unitaria a W e ...

Buongiorno a tutti. Mi sono incagliato in una dimostrazione che seppur potenzialmente semplice non riesco proprio a sciogliere. Vorrei dimostrare che $(S')' \subseteq S'$ dove $S$ è un generico sottoinsieme di uno spazio topologico $(X,\mathcal{T})$. Con $S'$ intendo ovviamente il derivato di $S$. Io ragiono cosi: Fisso $x \in (S')' \Rightarrow \forall U(x) \qquad U(x) \setminus \{x\} \cap S' \ne \emptyset$ dove $U(x)$ è un generico intorno di $x$. Dunque mi verrebbe a questo punto da prendere ...

Buonasera, mi è stato assegnato il seguente esercizio: Utilizzando le proprietà del birapporto dimostrare il teorema fondamentale della geometria proiettiva in dimensione 1. In particolare devo considerare le due seguenti proprietà del birapporto: 1. Il birapporto è invariante proiettivo. 2. Dati tre punti $A,B,C$, $\forall t \exists ! D: R(A,B,C,D)=t$. Devo dimostrare che esiste ed è unica la proiettività $T$ tale che $T(A,B,C)=(A',B',C')$. Quindi prima di tutto ...

Ciao a tutti, sono nuova nel forum, mi chiamo martina e sono al primo anno di ingegneria e ho un problema di algebra che non so risolvere.. il testo è questo: In $ RR^3 $ ( $ RR $ ) si determini, se possibile, un insieme A tale che $text(L)(A) = U$ dove $U = \{(x-1, x + y, y-2) in RR^3 | x,y in R\}$. In caso non sia possibile si giustifichi la risposta. allora: so dalla teoria che perché $U$ sia un sottospazio lineare, deve soddisfare tre proprietà: [list=1][*:25k33i67] La somma di ...

Svolgendo alcuni esercizi ho trovato due affermazioni sul mio eserciziario che mi lasciano perplesso perché pur avendo studiato di pari-passo la teoria non riesco a comprendere. E' quindi evidente che ho trovato una lacuna che vorrei provare a colmare con voi. Le affermazioni che non capisco sono: 1) - se la forma bilineare simmetrica è definita positiva non vi sono sicuramente vettori isotropi. - semidefinita => gli unici isotropi sono quelli del radicale - indefinita => non ho ben capito ...

Leggo sul Klein Elementary mathematics from an advanced standpoint - Geometry (parte 2 capitolo I) che le affiinità possono pensarsi come deformazioni omogenee dello spazio, dove l'aggettivo omogeneo è da intendersi in senso fisico, ovvero indipendente dalla posizione. In particolare ogni affinità deve avere determinante Jacobiano costante (appunto, indipendente dalla posizione). Mi chiedevo se fosse valido il viceversa, ovvero: sia $f: RR^n\toRR^n$ un diffeomorfismo con determinante ...

$W$ è un sottospazio vettoriale di $R^x$ se: $1)$ $W$ contiene il vettore nullo $0$ di $R^x$ e $0 in W$. $2a)$ $AA(w1,w2) in W$, allora $w1+w2 in W$. $2b)$ $AA(t) in R$, $AA(w) in R$ allora $t*w in W$ l'esercizio chiede di stabilire se $X1$ è un sottospazio vettoriale di $R^3$: $X1={x=[[x1],[x2],[x3]] in R^3 : x1+(x2)^2-(x3)^2=0}$ ho fatto il punto ...

Buongiorno. Per un esame avevo necessità di rispolverare un po' di concetti di algebra lineare tra cui le matrici Hermitiane. Ad esempio questa \( \begin{pmatrix} 2 & 2i \\ -2i & -2 \end{pmatrix} \) è chiaramente hermitiana perchè sulla diagonale ha valori reali e gli altri valori sono complessi e coniugati. Quindi deve rispettare una certa proprietà (che deriva dal teorema spettrale se non ricordo male ma non vorrei dire stupidaggini) per cui ad autovalori diversi corrispondono ...

Sia $U\subseteq\mathbb{R}^n$ aperto, e $F:U\to\mathbb{R}^m$ un'applicazionequalsiasi. Allora il grafico di $\Gamma_F$ di $F$, che è l'insieme $$\Gamma_F=\{(x,F(x))\in\mathbb{R}^{n+m}\;|\;x\in U\}\subseteq\mathbb{R}^{n+m}$$ è una varietà n-dimensionale con un atlante costituito dall'unica carta $\varphi:\Gamma_F\to U$ data da $\varphi(x,F(x))=x$ In generale, sia $M$ un insieme. Un atlante $\mathcal{A}=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ su $M$ induce su ...

Ciao ragazzi, dovrei fare questi due punti di un esercizio. Ho cercato online materiale a riguardo però onestamente non ho trovato nessuno che eseguiva le cose step-by-step e sono un po' confuso... Sostanzialmente si ha la funzione $f(b)$ di un vettore casuale $b=[[b_1],[b_2]]$ e la matrice $A=[[2,1],[3,2]]$. $1)$ Nel primo punto chiede di calcolare $(\partial f(b))/(\partial b)$ con $f(b) = Ab$. Qui ho calcolato allora il prodotto $Ab$ e poi ho derivato rispetto ...

Nello spazio , data l'equazione della quadrica Q \(\displaystyle x^2-y^2-2z+1=0 \) 1) Stabilire se la quadrica è degenere o non degenere. 2) Stabilire se la quadrica è spezzata. 3) Nel caso in cui sia non degenere stabilirne il tipo. Prima di tutto calcolo il determinante della matrice A : $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & -1 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \\\ 0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}$$ \(\displaystyle det(A)=1 , R_K (A)=4 \) poi passo alla matrice ...