Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia $B={v1...vn}$ una base di $V$(spazio vettoriale su K) e $C={w1...wa}$ una base di $W$(sottospazio vettoriale di V).Esiste $D{w1...wa,v(a+1)...vn}$
che è base di $V$.
Definito $Z=span{v(a+1)...vn}$ verificare che $Z$ è COMPLEMENTO di $W$ cioè:
$1)$ $V=Z+W$
$2)$ $Z nn W= \phi$
Purtroppo non abbiamo mai fatto esercizi del genere e con la sola teoria mi trovo in difficoltà:
Ho ...
ciao ragazzi mi rivolgo a voi perché mi sto rassegnando con la dimostrazione di questa proposizione che non riesco a capire:
Sia un prodotto scalare definito positivo allora è anche non degenere.
qualcuno me lo saprebbe dimostrare con tutti i passaggi semplici ? grazie tante.
Salve ho un dubbio sulla risoluzione del seguente problema:
data la matrice $ N=| ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) | $ trovare una base del sottospazio E di Mat(2x2) definito come segue
$ E= A in Mat(2*2) : AN=NA $
io l'ho svolto trovando la matrice inversa di N e quindi una base di E è data da $ N^-1 N= I $
Poi mi chiede di determinare una base e la dimensione del sottospazio di E di Mat(3x3) formato dalle matrici simmetriche aventi traccia nulla , e qui non sono riuscito a tirare fuori un ragionamento logico ...
Siano $V$ e $W$ due $KK$-spazi vettoriali con $dim(V)=n$ e $dim(W)=m$. Siano $f_1$,$f_2$,...,$f_m in V*$ e ${w_1,...,w_m}$ una base di $W$.
Mostrare che $T(v)= \sum_(i=1)^m f_i(v)w_i$ è un'applicazione lineare di $V$ in $W$.
In seguito provare che ogni applicazione lineare da $V$ in $W$ può essere scritta nella forma precedente dopo aver scelto ...
Ciao, cercavo un esempio spazio topologico che mostrasse che l'essere secondo numerabile non è un invariante per omotopia di spazi.
Pensavo ad $l^\infty$ con la topologia indotta dalla solita norma/metrica del sup, che essendo metrizzabile e non separabile non è secondo numerabile. D'altra parte è uno spazio normato e quindi (penso?) contraibile e quindi omotopo a un punto che invece è ovviamente secondo numerabile.
Ha senso? O ho detto una sequenza di cavolate?
In caso qualcuno ...
Salve a tutti, sto cercando di risolvere un compito proposto in passato presso la mia facoltà di ingegneria.
Ho provato a svolgerlo, ma non ho modo di verificare se il procedimento e le considerazioni fatte siano corrette. L'esercizio è il seguente:
Sia \( \{\ e_{1}, e_{2}, e_{3} \}\ \) la base canonica di \( \Re^3 \) e \( f:\Re ^3\rightarrow \Re ^4 \) data da :
\( f(e_{1})=\begin{pmatrix} 1 \\ k \\ 1 \\ k \end{pmatrix}, f(e_{2})=\begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 1 \\ k, \end{pmatrix}, ...
Si stabilisca per quali valori di k i vettori di \(\displaystyle \Re ^3 \) \(\displaystyle v=(k-1,2,3) , w=(0,-1,0)\) e \(\displaystyle z=(0,0,5) \)
a) sono generatori di \(\displaystyle \Re ^3 \);
b) formano una base di \(\displaystyle \Re ^3 \);
c) sono linearmente dipendenti;
per il punto c) pensavo di calcolare il determinante della matrice contenente i tre vettori e vedere quando il rango è inferiore o uguale a 3.
per il punto a) volevo verificare se è possibile esprimere uno dei ...
Salve a tutti , espongo il seguente problema:
Siano U e W i seguenti sottospazi di R^4:
$ U=L| ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , -2 ),( 0 , -1 , 1 ) | $ ; $ W= (x1,x2,x3,x4)in R^4 : x1+x2-x3+x4=0 $
il primo punto mi chiede di deteminare una base e la dimensione di U , dal calcolo ottengo che la DIM U=2 e una base è formata da $ B(U)=[(1,1,0,0)^t ;(1,0,2,-1)^t] $ mentre il secondo punto mi chiede di trovare la Dim W che dal calcolo ottengo che è uguale a 3 e una sua base è $ B(W)[(1,0,0,-1);(0,1,0,-1);(0,0,1,1)] $ .
Ora il terzo punto mi chiede di :Trovare tutti i vettori di norma unitaria a W e ...
Buongiorno a tutti.
Mi sono incagliato in una dimostrazione che seppur potenzialmente semplice non riesco proprio a sciogliere.
Vorrei dimostrare che $(S')' \subseteq S'$ dove $S$ è un generico sottoinsieme di uno spazio topologico $(X,\mathcal{T})$.
Con $S'$ intendo ovviamente il derivato di $S$.
Io ragiono cosi:
Fisso $x \in (S')' \Rightarrow \forall U(x) \qquad U(x) \setminus \{x\} \cap S' \ne \emptyset$ dove $U(x)$ è un generico intorno di $x$.
Dunque mi verrebbe a questo punto da prendere ...
Buonasera,
mi è stato assegnato il seguente esercizio:
Utilizzando le proprietà del birapporto dimostrare il teorema fondamentale della geometria proiettiva in dimensione 1.
In particolare devo considerare le due seguenti proprietà del birapporto:
1. Il birapporto è invariante proiettivo.
2. Dati tre punti $A,B,C$, $\forall t \exists ! D: R(A,B,C,D)=t$.
Devo dimostrare che esiste ed è unica la proiettività $T$ tale che $T(A,B,C)=(A',B',C')$.
Quindi prima di tutto ...
Ciao a tutti, sono nuova nel forum, mi chiamo martina e sono al primo anno di ingegneria e ho un problema di algebra che non so risolvere..
il testo è questo: In $ RR^3 $ ( $ RR $ ) si determini, se possibile, un insieme A tale che $text(L)(A) = U$ dove $U = \{(x-1, x + y, y-2) in RR^3 | x,y in R\}$.
In caso non sia possibile si giustifichi la risposta.
allora: so dalla teoria che perché $U$ sia un sottospazio lineare, deve soddisfare tre proprietà:
[list=1][*:25k33i67] La somma di ...
Svolgendo alcuni esercizi ho trovato due affermazioni sul mio eserciziario che mi lasciano perplesso perché pur avendo studiato di pari-passo la teoria non riesco a comprendere.
E' quindi evidente che ho trovato una lacuna che vorrei provare a colmare con voi.
Le affermazioni che non capisco sono:
1)
- se la forma bilineare simmetrica è definita positiva non vi sono sicuramente vettori isotropi.
- semidefinita => gli unici isotropi sono quelli del radicale
- indefinita => non ho ben capito ...
Leggo sul Klein Elementary mathematics from an advanced standpoint - Geometry (parte 2 capitolo I) che le affiinità possono pensarsi come deformazioni omogenee dello spazio, dove l'aggettivo omogeneo è da intendersi in senso fisico, ovvero indipendente dalla posizione.
In particolare ogni affinità deve avere determinante Jacobiano costante (appunto, indipendente dalla posizione). Mi chiedevo se fosse valido il viceversa, ovvero:
sia $f: RR^n\toRR^n$ un diffeomorfismo con determinante ...
$W$ è un sottospazio vettoriale di $R^x$ se:
$1)$ $W$ contiene il vettore nullo $0$ di $R^x$ e $0 in W$.
$2a)$ $AA(w1,w2) in W$, allora $w1+w2 in W$.
$2b)$ $AA(t) in R$, $AA(w) in R$ allora $t*w in W$
l'esercizio chiede di stabilire se $X1$ è un sottospazio vettoriale di $R^3$:
$X1={x=[[x1],[x2],[x3]] in R^3 : x1+(x2)^2-(x3)^2=0}$
ho fatto il punto ...
Buongiorno. Per un esame avevo necessità di rispolverare un po' di concetti di algebra lineare tra cui le matrici Hermitiane.
Ad esempio questa \( \begin{pmatrix} 2 & 2i \\ -2i & -2 \end{pmatrix} \) è chiaramente hermitiana perchè sulla diagonale ha valori reali e gli altri valori sono complessi e coniugati. Quindi deve rispettare una certa proprietà (che deriva dal teorema spettrale se non ricordo male ma non vorrei dire stupidaggini) per cui ad autovalori diversi corrispondono ...
Sia $U\subseteq\mathbb{R}^n$ aperto, e $F:U\to\mathbb{R}^m$ un'applicazionequalsiasi. Allora il grafico di $\Gamma_F$ di $F$, che è l'insieme $$\Gamma_F=\{(x,F(x))\in\mathbb{R}^{n+m}\;|\;x\in U\}\subseteq\mathbb{R}^{n+m}$$ è una varietà n-dimensionale con un atlante costituito dall'unica carta $\varphi:\Gamma_F\to U$ data da $\varphi(x,F(x))=x$
In generale, sia $M$ un insieme. Un atlante $\mathcal{A}=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ su $M$ induce su ...
Ciao ragazzi, dovrei fare questi due punti di un esercizio. Ho cercato online materiale a riguardo però onestamente non ho trovato nessuno che eseguiva le cose step-by-step e sono un po' confuso...
Sostanzialmente si ha la funzione $f(b)$ di un vettore casuale $b=[[b_1],[b_2]]$ e la matrice $A=[[2,1],[3,2]]$.
$1)$ Nel primo punto chiede di calcolare $(\partial f(b))/(\partial b)$ con $f(b) = Ab$. Qui ho calcolato allora il prodotto $Ab$ e poi ho derivato rispetto ...
Nello spazio , data l'equazione della quadrica Q
\(\displaystyle x^2-y^2-2z+1=0 \)
1) Stabilire se la quadrica è degenere o non degenere.
2) Stabilire se la quadrica è spezzata.
3) Nel caso in cui sia non degenere stabilirne il tipo.
Prima di tutto calcolo il determinante della matrice A :
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\\ 0 & -1 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \\\ 0 & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}$$
\(\displaystyle det(A)=1 , R_K (A)=4 \)
poi passo alla matrice ...
Salve a tutti ragazzi.Oggi ho provato a fare questo problema ma non ci sono riuscito.Potreste darmi una mano a risolverlo?
Nello spazio, calcolare l'angolo dei vettori u=i+k e v=i+j+2k e determinare i versori ortogonali ad entrambi.L'angolo mi è venuto prigreco/6.Poi ho messo a sistema queste 3 condizioni: 1)u*w=0 2)v*w=0 3)w1^2+w2^2+w3^2=1.W è il versore.
come faccio a dimostrare che una superficie algebrica è composta da più falde ,ad esempio 2, una positiva e
l'altra negativa?
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