Funzione continua che non manda aperti in aperti.
1) Trova una funzione continua \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) che non mappa insiemi aperti ad insiemi aperti. 2) Trova inoltre una funzione \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), tale che \( f(U) \) è aperto per tutti gli insiemi \( U \) aperti, ma \( f \) non è continua.
Per il 1)
Può andar bene \( id : (\mathbb{R},\tau_D) \to (\mathbb{R},\tau_I) \) , dove \( \tau_D \) è la topologia discreta mentre \( \tau_I \) la topologia indiscreta. Perché abbiamo che \( \mathbb{R} \) è aperto nella topologia indiscreta e dunque \( id^{-1} (\mathbb{R} ) = \mathbb{R} \) è aperto nella topologia discreta. Allo stesso modo \( \emptyset \) è aperto nella topologia indiscreta e \( id^{-1} (\emptyset ) = \emptyset\). Mentre invece ad esempio \( \{a\} \) è aperto nella topologia discreta mentre \( f(\{a\}) \) è chiuso nella topologia indiscreta.
Per il 2)
\( id : (\mathbb{R},\tau_I) \to (\mathbb{R},\tau_D) \), per un ragionamento analogo al punto 1) soddisfa la richiesta del 2)
vi sembra funzionare? Mi sembra strano che basta cambiare la topologia e la stessa funzione diviene continua o non continua.
Per il 1)
Può andar bene \( id : (\mathbb{R},\tau_D) \to (\mathbb{R},\tau_I) \) , dove \( \tau_D \) è la topologia discreta mentre \( \tau_I \) la topologia indiscreta. Perché abbiamo che \( \mathbb{R} \) è aperto nella topologia indiscreta e dunque \( id^{-1} (\mathbb{R} ) = \mathbb{R} \) è aperto nella topologia discreta. Allo stesso modo \( \emptyset \) è aperto nella topologia indiscreta e \( id^{-1} (\emptyset ) = \emptyset\). Mentre invece ad esempio \( \{a\} \) è aperto nella topologia discreta mentre \( f(\{a\}) \) è chiuso nella topologia indiscreta.
Per il 2)
\( id : (\mathbb{R},\tau_I) \to (\mathbb{R},\tau_D) \), per un ragionamento analogo al punto 1) soddisfa la richiesta del 2)
vi sembra funzionare? Mi sembra strano che basta cambiare la topologia e la stessa funzione diviene continua o non continua.
Risposte
Per 1), penso che tu debba usare la topologia standard in entrambi. Un esempio è la funzione \(0\colon x\mapsto 0\). Infatti, la funzione è banalmente continua, ma l'immagine di ogni aperto è un chiuso. O anche le funzioni \(\sin\), \(\cos\) o \(x^2\) per scelte opportune di aperti.
Per 2) ci devo pensare.
Per 2) ci devo pensare.
Anche secondo me devi considerare sia nel dominio che nel codominio la topologia euclidea.
Questo non è vero. Gli unici chiusi della topologia indiscreta sono $RR, \emptyset$ e $f({a})$ non è nessuno dei due.
"3m0o":
\( f(\{a\}) \) è chiuso nella topologia indiscreta.
Questo non è vero. Gli unici chiusi della topologia indiscreta sono $RR, \emptyset$ e $f({a})$ non è nessuno dei due.
"otta96":
Anche secondo me devi considerare sia nel dominio che nel codominio la topologia euclidea.
[quote="3m0o"]\( f(\{a\}) \) è chiuso nella topologia indiscreta.
Questo non è vero. Gli unici chiusi della topologia indiscreta sono $RR, \emptyset$ e $f({a})$ non è nessuno dei due.[/quote]
Hai ragione volevo dire non è aperto. Perché gli unici aperti sono \( \mathbb{R} \) e \( \emptyset \).
Edit: okay probabilmente devo utilizzare la topologia euclidea, però nel caso in cui io non debba necessariamente utilizzare quella euclidea (o comunque non la stessa topologia) i miei esempi vanno bene?
"3m0o":
nel caso in cui io non debba necessariamente utilizzare quella euclidea i miei esempi vanno bene?
Si, a parte la cosa che ti ho già segnalato.
Stavo leggendo online delle funzioni "strongly Darboux" questa è la definizione che ho trovato in merito, e ho trovato anche una cosa che potrebbe servire.
Se \( X \) e \( Y \) sono spazi topologici, una funzione \( f: X \to Y \) è detta "strongly Darboux" se e solo se per ogni insieme non vuoto e aperto \( A \subseteq X \) abbiamo che \( f(A)=Y \).
Chiaramente una funzione fatta in questo modo è una funzione aperta. Inoltre è suriettiva poiché \( f(X)=Y\), se \( X \) non vuoto.
Se \( X \) è non vuoto e \( f : X \to Y \) è strongly Darboux ed è continua, allora \( Y \) è munita della topologia indiscreta. La dimostrazione che ho trovato di questa proposizione è
Sia \( A \subseteq Y \) non vuoto, e aperto. Siccome \( f \) suriettiva abbiamo che \( f^{-1}(A) \subset X \) non è vuoto, ed è aperto per continuità di \( f \). Pertanto \( f(f^{-1}(A))=Y \), e inoltre \( f(f^{-1}(A))=A\), dunque \( A = Y \).
Quindi basta trovare una funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) che è "strongly Darboux"... giusto?
Se \( X \) e \( Y \) sono spazi topologici, una funzione \( f: X \to Y \) è detta "strongly Darboux" se e solo se per ogni insieme non vuoto e aperto \( A \subseteq X \) abbiamo che \( f(A)=Y \).
Chiaramente una funzione fatta in questo modo è una funzione aperta. Inoltre è suriettiva poiché \( f(X)=Y\), se \( X \) non vuoto.
Se \( X \) è non vuoto e \( f : X \to Y \) è strongly Darboux ed è continua, allora \( Y \) è munita della topologia indiscreta. La dimostrazione che ho trovato di questa proposizione è
Sia \( A \subseteq Y \) non vuoto, e aperto. Siccome \( f \) suriettiva abbiamo che \( f^{-1}(A) \subset X \) non è vuoto, ed è aperto per continuità di \( f \). Pertanto \( f(f^{-1}(A))=Y \), e inoltre \( f(f^{-1}(A))=A\), dunque \( A = Y \).
Quindi basta trovare una funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) che è "strongly Darboux"... giusto?
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