Matrici simmetriche
Vi spiego in poche parole quello che è il mio problema:
Supponiamo di avere un'equazione agli autovalori e di avere una matrice A quadrata ma non simmetrica.
Tenuto conto che una tale matrice non può essere simmetrizzata (per quello che ne so), a parte scriverla come somma di una matrice simmetrica ed una antisimmetrica sfruttando la sua trasporta, esiste un teorema che mi permetta di costruire una matrice simmetrica in grado di darmi gli stessi autovalori di quella non simmetrica?
Grazie,
svalvolo
Supponiamo di avere un'equazione agli autovalori e di avere una matrice A quadrata ma non simmetrica.
Tenuto conto che una tale matrice non può essere simmetrizzata (per quello che ne so), a parte scriverla come somma di una matrice simmetrica ed una antisimmetrica sfruttando la sua trasporta, esiste un teorema che mi permetta di costruire una matrice simmetrica in grado di darmi gli stessi autovalori di quella non simmetrica?
Grazie,
svalvolo
Risposte
Ciao svalvolo, benvenuto nel forum e buona permanenza!
Secondo me, dovresti definire meglio in quale contesto sei.
A priori, data una matrice non simmetrica non è detto nemmeno che ne abbia di autovalori, come per esempio la matrice reale $A=((0,1),(-1,0))$ che non ha nemmeno un autovalore in $RR$. In che senso, in tal caso, vuoi una matrice quadrata con gli stessi autovalori di $A$?
Forse, ho capito male la domanda?
Secondo me, dovresti definire meglio in quale contesto sei.
A priori, data una matrice non simmetrica non è detto nemmeno che ne abbia di autovalori, come per esempio la matrice reale $A=((0,1),(-1,0))$ che non ha nemmeno un autovalore in $RR$. In che senso, in tal caso, vuoi una matrice quadrata con gli stessi autovalori di $A$?
Forse, ho capito male la domanda?
Ciao cirasa, grazie per il benvenuto 
Supponiamo di avere una matrice quadrata non simmetrica $A = ((a,b),(c,d)) \in RR^2$. Da essa ci ricaviamo gli autovettori $\vec{x}$ e gli autovalori $\lambda_i$.
Sappiamo che $A = \frac{1}{2} (A + A^T) + \frac{1}{2} (A - A^T)$, quindi potrebbe essere scritta come somma di una matrice simmetrica ed una antisimmetrica.
Supponiamo ora, dopo aver ricavato i vari $\lambda_i$, di voler ricavare una matrice $A'$ quadrata e simmetrica che mi dia gli stessi autovalori di $A$.
Vi è un modo?
Supponiamo di avere una matrice quadrata non simmetrica $A = ((a,b),(c,d)) \in RR^2$. Da essa ci ricaviamo gli autovettori $\vec{x}$ e gli autovalori $\lambda_i$.
Sappiamo che $A = \frac{1}{2} (A + A^T) + \frac{1}{2} (A - A^T)$, quindi potrebbe essere scritta come somma di una matrice simmetrica ed una antisimmetrica.
Supponiamo ora, dopo aver ricavato i vari $\lambda_i$, di voler ricavare una matrice $A'$ quadrata e simmetrica che mi dia gli stessi autovalori di $A$.
Vi è un modo?
Ci deve essere una relazione fra questa matrice simmetrica $A'$ cercata e la parte simmetrica di $A$?
No, perchè altrimenti una soluzione del problema potrebbe essere la matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale principale che è ovviamente simmetrica ed ha gli stessi autovalori di $A$.
Ma non credo che questa soluzione sia quella che cercavi.
O forse il problema è che non conosci a priori gli autovalori e vuoi trovarli calcolando equivalentemente quelli della matrice simmetrica?
In questo secondo caso, non saprei, non ho mi è mai capitato un problema simile...
No, perchè altrimenti una soluzione del problema potrebbe essere la matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale principale che è ovviamente simmetrica ed ha gli stessi autovalori di $A$.
Ma non credo che questa soluzione sia quella che cercavi.
O forse il problema è che non conosci a priori gli autovalori e vuoi trovarli calcolando equivalentemente quelli della matrice simmetrica?
In questo secondo caso, non saprei, non ho mi è mai capitato un problema simile...
Beh... se la dimensione di $A$ è $n \times n$ allora anche $A'$ deve essere di mensione $n \times n$.
$A'$ non deve essere una matrice diagonale.
Più di così non saprei che dire.
Provo a cambiare prospettiva...
La mia matrice $A$ deriva dal prodotto di 2 matrici simmetriche $B$ e $C$ con la stessa dimensione.
Domanda stupida: Se io divido ambo i membri dell'equazione agli autovalori per una delle due matrici simmetriche, ottengo una cosa del genere:
$C \vec{x} = \frac{\lambda_i}{B} \vec{x}$
In questo caso ho che $C$ è una matrice simmetrica ed è quello che volevo ottenere alla sinistra dell'uguaglianza, ma a destra ho quella matrice $B$ a denominatore che non mi piace per niente. Messa così, come faccio a dire di avere un'equazione agli autovalori? Cioè...
rigirandola otterrei:
$(C - \lambda_i \frac{1}{B}) \vec{x} = 0$
in cui 1 = matrice identità.
voi come la vedete questa relazione? Ha un senso matematico? Come posso togliermi dagli impicci quella matrice $B$, tenuto conto che alla sinistra della mia relazione voglio una matrice simmetrica?
Grazie
$A'$ non deve essere una matrice diagonale.
Più di così non saprei che dire.
Provo a cambiare prospettiva...
La mia matrice $A$ deriva dal prodotto di 2 matrici simmetriche $B$ e $C$ con la stessa dimensione.
Domanda stupida: Se io divido ambo i membri dell'equazione agli autovalori per una delle due matrici simmetriche, ottengo una cosa del genere:
$C \vec{x} = \frac{\lambda_i}{B} \vec{x}$
In questo caso ho che $C$ è una matrice simmetrica ed è quello che volevo ottenere alla sinistra dell'uguaglianza, ma a destra ho quella matrice $B$ a denominatore che non mi piace per niente. Messa così, come faccio a dire di avere un'equazione agli autovalori? Cioè...
rigirandola otterrei:
$(C - \lambda_i \frac{1}{B}) \vec{x} = 0$
in cui 1 = matrice identità.
voi come la vedete questa relazione? Ha un senso matematico? Come posso togliermi dagli impicci quella matrice $B$, tenuto conto che alla sinistra della mia relazione voglio una matrice simmetrica?
Grazie
@svalvolo: Per favore ridimensiona fisicamente il tuo avatar invece di istruire il sistema perché lo ridimensioni automaticamente. Quando apro i tuoi post, una volta su due il ridimensionamento automatico fallisce e visualizza l'immagine in dimensione piena. Tra l'altro ridimensionando fisicamente aumenti la velocità di caricamento delle pagine
Innanzitutto quando dici "matrice $B$ al denominatore" non mi piace per niente. Ma forse intendi dire l'inversa di $B$...
Non so, forse ti può essere utile sapere che l'inversa di una matrice simmetrica è ancora simmetrica.
E quindi -ma non so se sei interessato a questo- anche la matrice $C-lambda_iB^{-1}$ è simmetrica, visto che anche $C$ lo è.
Mi spiace, ma purtroppo continuo a non capire il senso di questi passaggi algebrici...
Scusa la mia curiosità: in che ambito hai trovato un problema del genere? Hai un esercizio da risolvere?
Non so, forse ti può essere utile sapere che l'inversa di una matrice simmetrica è ancora simmetrica.
E quindi -ma non so se sei interessato a questo- anche la matrice $C-lambda_iB^{-1}$ è simmetrica, visto che anche $C$ lo è.
Mi spiace, ma purtroppo continuo a non capire il senso di questi passaggi algebrici...
Scusa la mia curiosità: in che ambito hai trovato un problema del genere? Hai un esercizio da risolvere?
"svalvolo":
Supponiamo ora, dopo aver ricavato i vari $\lambda_i$, di voler ricavare una matrice $A'$ quadrata e simmetrica che mi dia gli stessi autovalori di $A$.
Vi è un modo?
Basta prendere $A'=diag(\lambda_1,...,\lambda_k)$.
Se $A'$ la vuoi reale simmetrica, gli autovalori della matrice di partenza devono essere reali (poichè una matrice reali simmetrica ha autovalori reali), e di nuovo le matrici diagonali con entrate gli autovalori risolvono banalmente il problema (come ha detto cirasa).
Qual'è il punto? Forse vuoi una matrice hermitiana (reale o no) che sia simile o congruente alla matrice di partenza?
"alvinlee88":
Forse vuoi una matrice hermitiana (reale o no) che sia simile o congruente alla matrice di partenza?
Esattamente!
Nessuna idea? Esiste un qualche teorema a me utile?
Grazie
Grazie
That's the situation:
Trasformazioni per congruenza: conservano la simmetria delle matrici, quindi se la matrice $A$ di partenza non è simmetrica nessuna $M^TAM$, con $M$ invertibile, può esserlo.
Trasformazioni per similitudine: Data $A$ matrice reale esiste una matrice reale $M$ invertibile tale che $M^{-1}AM=S$ è simmetrica se e solo se $A$ è diagonalizzabile.
dim: se $A$ è diagonalizzabile, $N^{-1}AN=D$ con $D$ diagonale e $N$ invertibile, e in particolare $D$ è simmetrica.
Viceversa se $M^{-1}AM=S$ con $S$ simmetrica e $M$ invertibile, $S$ è diagonalizzabile per il teorema spettrale, quindi esiste $N$ invertibile tale che $N^{-1}SN=D$, $D$ diagonale. Mettendo insieme otteniamo
$D=N^{-1}M^{-1}AMN=(MN)^{-1}AMN$, e quindi essendo $MN$ invertibile $A$ è diagonalizzabile.
P.S. il tutto si può riformulare in modo analogo per il caso complesso.
Detto ciò, mi sembra di capire che te vuoi risolvere il problema agli autovalori $Ax=\lambdax$, con $A=BC$, $B,C$ simmetriche. $A$ è simmetrica se e solo se $B$ e $C$ commutano. In ogni caso se il problema è calcolare gli autovalori, quello che è utile non è tanto ottenere una matrice congruente o simile alla matrice data che sia simmetrica (hai solo rimandato il problema), ma che sia triangolare o diagonale, in modo che vengano rivelati i suoi autovalori.
Trasformazioni per congruenza: conservano la simmetria delle matrici, quindi se la matrice $A$ di partenza non è simmetrica nessuna $M^TAM$, con $M$ invertibile, può esserlo.
Trasformazioni per similitudine: Data $A$ matrice reale esiste una matrice reale $M$ invertibile tale che $M^{-1}AM=S$ è simmetrica se e solo se $A$ è diagonalizzabile.
dim: se $A$ è diagonalizzabile, $N^{-1}AN=D$ con $D$ diagonale e $N$ invertibile, e in particolare $D$ è simmetrica.
Viceversa se $M^{-1}AM=S$ con $S$ simmetrica e $M$ invertibile, $S$ è diagonalizzabile per il teorema spettrale, quindi esiste $N$ invertibile tale che $N^{-1}SN=D$, $D$ diagonale. Mettendo insieme otteniamo
$D=N^{-1}M^{-1}AMN=(MN)^{-1}AMN$, e quindi essendo $MN$ invertibile $A$ è diagonalizzabile.
P.S. il tutto si può riformulare in modo analogo per il caso complesso.
Detto ciò, mi sembra di capire che te vuoi risolvere il problema agli autovalori $Ax=\lambdax$, con $A=BC$, $B,C$ simmetriche. $A$ è simmetrica se e solo se $B$ e $C$ commutano. In ogni caso se il problema è calcolare gli autovalori, quello che è utile non è tanto ottenere una matrice congruente o simile alla matrice data che sia simmetrica (hai solo rimandato il problema), ma che sia triangolare o diagonale, in modo che vengano rivelati i suoi autovalori.
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