Trovare la proiettività date tre rette e un punto.
Ciao!
Volevo sapere se era corretto il mio ragionamento.
Allora ho una proiettività φ nel piano e mi sono date 3 rette e le loro rispettive rette immagine, un punto e la sua rispettiva immagine.
Le equazioni delle rette e le coordinate del punto sono:
$m: x=0$
$n: y=0$
$r: t=0$
$P: (1,5,2)$
le immagini sono rispettivamente
$\phi(m)=n$
$\phi(n)=r$
$\phi(r)=m$
$\phi(P)= (-2,1,40)$
Allora cosa ho fatto...
Interseco le rette tra di loro ottenendo tre punti:
$ m nn n $$= {A}$
$ m nn r $$= {B}$
$ n nn r $$= {C}$
faccio così con le immagini delle rette per ottenere le immagini dei punti A,B,C
$ n nn r $$= {A'}$
$ n nn m $$= {B'}$
$ r nn m $$= {C'}$
Ora compongo la matrice con le coordinate dei punti A',B',C'.
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $
e faccio il prodotto scalare con la matrice colonna $( ( h ),( k ),( l ) )$
ottenendo la matrice della proiettività
$ ( ( h , 0 , 0 ),( 0 , 0 , k ),( 0 , l , 0 ) ) $
a questo punto per trovare le tre incognite impongo questa condizione
$ ( ( h , 0 , 0 ),( 0 , 0 , k ),( 0 , l , 0 ) ) * ( ( 1 ),( 5 ),( 2 ) )= ( ( -2 ),( 1 ),( 40 ) )$
ottengo quindi che la proiettività ha matrice
$ ( ( -2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , (1/2)),( 0 , 8 , 0 ) ) $
Volevo sapere se era corretto il mio ragionamento.
Allora ho una proiettività φ nel piano e mi sono date 3 rette e le loro rispettive rette immagine, un punto e la sua rispettiva immagine.
Le equazioni delle rette e le coordinate del punto sono:
$m: x=0$
$n: y=0$
$r: t=0$
$P: (1,5,2)$
le immagini sono rispettivamente
$\phi(m)=n$
$\phi(n)=r$
$\phi(r)=m$
$\phi(P)= (-2,1,40)$
Allora cosa ho fatto...
Interseco le rette tra di loro ottenendo tre punti:
$ m nn n $$= {A}$
$ m nn r $$= {B}$
$ n nn r $$= {C}$
faccio così con le immagini delle rette per ottenere le immagini dei punti A,B,C
$ n nn r $$= {A'}$
$ n nn m $$= {B'}$
$ r nn m $$= {C'}$
Ora compongo la matrice con le coordinate dei punti A',B',C'.
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $
e faccio il prodotto scalare con la matrice colonna $( ( h ),( k ),( l ) )$
ottenendo la matrice della proiettività
$ ( ( h , 0 , 0 ),( 0 , 0 , k ),( 0 , l , 0 ) ) $
a questo punto per trovare le tre incognite impongo questa condizione
$ ( ( h , 0 , 0 ),( 0 , 0 , k ),( 0 , l , 0 ) ) * ( ( 1 ),( 5 ),( 2 ) )= ( ( -2 ),( 1 ),( 40 ) )$
ottengo quindi che la proiettività ha matrice
$ ( ( -2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , (1/2)),( 0 , 8 , 0 ) ) $
Risposte
Ciao ale29190, benvenut* nel forum.
Purtroppo le notazioni per gli spazi proiettivi non sono univoche.
Qualcuno usa le prima coordinata della terna delle coordinate proiettive per la retta impropria, altri (come me per esempio) usano l'ultima.
Puoi chiarire quale notazione usi? Altrimenti non possiamo controllare...
Comunque la tecnica di risoluzione dell'esercizio è molto semplice se ti è nota la dimostrazione del teorema che ti garantisce l'esistenza ed unicità della proiettività che trasforma un riferimento in un altro.
Se non ricordo male (è passato un po' di tempo
), devi solo trovare la matrice che ti trasforma i primi 3 vettori delle coordinate proiettive omogenee nei corrispondenti vettori delle coordinate "in arrivo", come -credo- hai fatto. L'ultima terna di coordinate (del punto $P$) ti serve per trovare gli scalari $h,k,l$.
Ciao!
Purtroppo le notazioni per gli spazi proiettivi non sono univoche.
Qualcuno usa le prima coordinata della terna delle coordinate proiettive per la retta impropria, altri (come me per esempio) usano l'ultima.
Puoi chiarire quale notazione usi? Altrimenti non possiamo controllare...
Comunque la tecnica di risoluzione dell'esercizio è molto semplice se ti è nota la dimostrazione del teorema che ti garantisce l'esistenza ed unicità della proiettività che trasforma un riferimento in un altro.
Se non ricordo male (è passato un po' di tempo
), devi solo trovare la matrice che ti trasforma i primi 3 vettori delle coordinate proiettive omogenee nei corrispondenti vettori delle coordinate "in arrivo", come -credo- hai fatto. L'ultima terna di coordinate (del punto $P$) ti serve per trovare gli scalari $h,k,l$.Ciao!
Uso anche io l'ultima 
$ ( ( x ),( y ),( t ) ) $
$ ( ( x ),( y ),( t ) ) $
Allora facciamo qualche calcolo (controlla perchè sono un po' arrugginito su queste questioni).
$m$ ed $n$ sono rispettivamente l'asse $y$ e l'asse $x$.
La loro intersezione è $O$ di coordinate proiettive omogenee $(0,0,1)$.
$r$ invece è la retta impropria. L'intersezione di $n$ con $r$ è $X_\infty$ di coordinate proiettive omogenee $(1,0,0)$.
La nostra applicazione $phi$ deve essere tale che $phi(O)=X_\infty$.
Ma, se la matrice di $phi$ fosse quella che hai trovato tu, le coordinate proiettive omogenee di $phi(O)$ sarebbero
$ ( ( -2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1"/"2),( 0 , 8 , 0 ) )((0),(0),(1))= ((0),(1"/"2),(0))$
che sono le coordinate proiettive di $Y_{infty}$ e non di $X_\infty$
Quindi, secondo me, l'esercizio è errato.
Ripeto: è passato molto tempo da quando non faccio questo tipo di esercizi. Quindi, se ho sbagliato, correggimi!
$m$ ed $n$ sono rispettivamente l'asse $y$ e l'asse $x$.
La loro intersezione è $O$ di coordinate proiettive omogenee $(0,0,1)$.
$r$ invece è la retta impropria. L'intersezione di $n$ con $r$ è $X_\infty$ di coordinate proiettive omogenee $(1,0,0)$.
La nostra applicazione $phi$ deve essere tale che $phi(O)=X_\infty$.
Ma, se la matrice di $phi$ fosse quella che hai trovato tu, le coordinate proiettive omogenee di $phi(O)$ sarebbero
$ ( ( -2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1"/"2),( 0 , 8 , 0 ) )((0),(0),(1))= ((0),(1"/"2),(0))$
che sono le coordinate proiettive di $Y_{infty}$ e non di $X_\infty$
Quindi, secondo me, l'esercizio è errato.
Ripeto: è passato molto tempo da quando non faccio questo tipo di esercizi. Quindi, se ho sbagliato, correggimi!
Si è molto probabile che il mio ragionamento sia errato...
La soluzione dell'esercizio dovrebbe essere la matrice
$ ( ( 0 , 0 , -1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 8 , 0 ) ) $
sempre che sia giusta
La soluzione dell'esercizio dovrebbe essere la matrice
$ ( ( 0 , 0 , -1 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 8 , 0 ) ) $
sempre che sia giusta
"ale29190":
Ciao!
...
Le equazioni delle rette e le coordinate del punto sono:
m: $ x=0 $ n: $ y=0 $ r: $ t=0 $ P: (1,5,2)
le immagini sono rispettivamente
φ(m)=n φ(n)=r φ(r)=m φ(P)= (-2,1,40)
...
Ho trovato l'errore: non è $(1,5,2)$, ma $(1,5,-2)$.
C'è un errore nella scrittura.
Prova e vedrai che tutto torna con quel -2.
ok grazie mille 
Se vuoi altri esercizi di geometria proiettiva guarda qui:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... ttiva.html
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... ttiva.html
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo