Dimostrazione disuguaglianza triangolare Matrici normate.

[DarioBaldini]

Ciao a tutti,

avendo due Matrici normate devo dimostrare che:
a)
$||A+B||<=||A||+||B||$ (disuguaglianza triangolare);

b)
$||AB||<=||A|| ||B||$ (compatibilità con il prodotto di matrici).


[tex]\displaystyle \|A\|=\left(\sum_{i,j=1}^n(a_{i,j})^2\right)^{1/2},\ \ A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})[/tex].

Io ho sostituito la definizione per A und B ma poi non so piü come procedere...qualcuno potrebbe darmi un indizio?

grazie

[cirasa]

Innanzitutto puoi osservare che [tex]\|\cdot\|[/tex] è la norma indotta dal prodotto scalare [tex]<\,,\,>[/tex] su [tex]M_n(\mathbb{R})[/tex], dove
[tex]$=\textrm{tr}(AB^t)[/tex],
dove [tex]B^t[/tex] è la trasposta di [tex]B[/tex] e [tex]\textrm{tr}[/tex] è la funzione traccia.
Si tratta della cosiddetta norma di Frobenius.

Come per ogni norma indotta da un prodotto scalare, vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
(CS) [tex]||\leq\|A\|\,\|B\|[/tex].
Per verificare la a), calcola il quadrato a primo membro e usa la (CS) per maggiorare con il quadrato del secondo membro.