Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Non riesco ad esplicitare questo isomorfismo: $R^2=\frac{M(2)}{O(2)}$, ove $M(2)$ è il gruppo delle isometrie (lineari) del piano e $O(2)$ il gruppo ortogonale. Riuscite a darmi una mano? La cosa mi spiazza un attimo.
Buongiorno a tutti. Avrei qualche domanda circa la risoluzione del seguente esercizio:
Sia dato l'endomorfismo $ F ( x, y , z ) in RR^3 rarr (hx + hy, x + y, 2hx + 3hy + hz) in RR^3 $ dipendente come è evidente dal parametro reale h.
Adesso chiede due cose:
a) Determinare i valori di h affinchè (1,-1,2) sia autovettore per F.
b) Determinare i valori di h tali che F sia diagonalizzabile[/list:u:1ir4g6kv]
Per il primo procedimento si dovrebbe trovare il polinomio caratteristico, ma non conoscendo l'altro parametro reale t vado incontro a ...
Salve ragazzi!! Non capisco come determinare la diagonalizzazione di una matrice al variare di un parametro,ad esempio:
$((2,0,-1),(0,1,1),(0,k,k))$
inizio ponendo -t sulla diagonale ed ottengo:
$((2-t,0,-1),(0,1-t,1),(0,k,k-t))$
calcolando il determinante ottengo che il polinomio caratteristico risulta:
$2-t*[t*(t-1-k)]$ dove $t=0$ $t=2$ $t=1+k$
Da qui in poi mi serve conoscere come ragionare che ho le idee poco chiare su questo tipo di esercizi.
Grazie in ...
In $RR^3$ si opera con un prodotto scalare $*$ tale che
$( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )=0$ , $( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )*( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )=-2$ , $( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )=-3$
Si determini una base ortogonale del sottospazio
$V=<( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>$
Allora prendo un vettore non isotropo della base, per esempio $v=( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )$
siccome $v$ è una famiglia ortogonale e senza isotropi, pongo $V=<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>+<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>^bot$ (con $+$ in questo caso indico la somma diretta).
ogni vettore $x$ del ...
Si indichi una matrice $A in RR^(3x3)$ tale che:
$A$ sia diagonalizzabile
$kerA={x in RR^3: x_1+3x_2+3x_3=0}$
$ImA=<( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$
Allora trovo una base del $ker$, per esempio $kerA=<( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( -3 ),( 1 ),( 0 ) )>$
dalla teoria so che i due vettori della base del $ker$ sono autovettori di autovalore 0.
imposto la base di $RR^3$ ovvero $RR^3=<( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( -3 ),( 1 ),( 0 ) ), v>$ con $v$ autovettore che devo stabilire
conosco che $ImA=<A*( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) ),A*( ( -3 ),( 1 ),( 0 ) ), A*v> = <A*v> = <( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$
quindi ...
Volevo avere conferma sulla risoluzione di questo mio esercizio perchè mi ha lasciato un pò perplesso.
Sia $Sigma$ la sfera di centro $C(1,0,1)$ e raggio $1$, e sia $Gamma$ la circonferenza $Sigma nn pi$ ove $pi:y=0$
Determinare il fascio di quadriche $F$ contenenti $Gamma$ e tali che le rette $a: \{(x=1),(y=0):}$ e $b: \{(y=0),(x=z):}$ siano assi.
Ora $Gamma$ ha equazione $\{(x^2+z^2-2x-2z+2=0),(y=0):}$. Pertanto il ...
Allora mi ritrovo di fronte a questo problema.
Data una matrice A=$((5,0,0),(1,5,0),(0,0,5))$, determinare la sua forma canonica razionale.
Allora io ho inziziato osservando che la matrice A non è in forma scalare e di conseguenza deg(min(A))>1. Successivamente scrivo la suddetta equazione :
$A^2$+$k_1$A+$k_0$$A^0$=0 e scrivo le relative matrici che risultano essere:
$((25,0,0),(10,25,0),(0,0,25))$+$((5k_1,0,0),(k_1,5k_1,0),(0,0,5k_1))$+$((k_0,0,0),(0,k_0,0),(0,0,k_0))$=0
Svolgo i calcoli ...
ciao a tutti... mi sto esercitando su esercizi di algebra lineare riguardanti le basi e le dimensioni dei sottospazi vettoriali... almeno fin'ora infatti ora mi trovo davanti un esercizio ke dice:
Assegnati i seguenti sottospazi:
$U={(x,y,z,t) in RR^4 : 3x+y-z=0, y+t=0}$
$W={(x,y,z,t) in RR^4 : x-z-t=0, x+z+t=0}$
Stabilire per quali valori del parametro reale $h$ il vettore $(0,1,1,h)$ appartiene a $UnnW$
cosa devo fare per prima cosa? devo trovare le dimensioni e le basi di $U, W, UnnW$? e poi ke ...
Ciao, è possibile ridurre una matrice con parametro con l'algoritmo di gauss?
per esempio quasta matrice:
$ ( ( 1, 2 , 2 ),( k-1 , k-2 , -2 ),( 1-k , 1-k , 1 ) ) $
ridotta normalmente mi viene:
$ ( ( 1, 2 , 2 ),( k , k , 0 ),( 1/2 , 0 , 0 ) ) $
ridotta con Gauss:
$ ( ( 1, 2 , 2 ),( 0 , -k , -k ),( 0 , 0 , k ) ) $
come mai questa differenza?
ciao a tutti,
Il problema è il seguente: in un esercizio mi viene chiesto partendo dall'equazione di una parabola generica $(x-y)^2+x+y-2=0$ di trovare un'equazione canonica, vertice, fuoco e asse di simmetria. Ho trovato il vertice: $V=(1,1)$, l'asse di simmetria: $x-y=0$, un'equazione canonica $2y^2=\pm sqrt(2)x $, ora devo trovare il fuoco: faccio l'intersezione tra la circonferenza di centro V e di raggio $p/2=sqrt(2)/8$ (distanza tra fuoco e vertice) con l'asse nel ...
Ciao a tutti,
ho un esercizio con cui non riesco a venire a capo.
Devo dimostrare che :
$ e^(tA) = ((cos(t), -sin(t)),(sin(t),cos(t)))$
$A=((0,1),(-1,0))$
A non ha autovalori. Io ho provato anche con la formula di eulero a sostituire e con il seno e il coseno ma penso che non valga in quanto t non é uguale a i numero immaginario.
ho provato anche ad utilzzare la serie che definisce la funzione esponenziale ed analizzarla per numeri pari e dispari ma non ho trovato nulla di sensato...
Ciao ragazzi ho qualche dificolta' a capire i passaggi, mi potete aiutare perfavore.
Grazie per la collaborazione. $ A=| ( 3 , -2 ),( 5 , -4 ) |;$
$ (sI-A)=| ( s-3 , 2 ),( -5 , s+4 ) |$ $<br />
Adesso devo trovare<br />
$ (sI-A)^(-1) $
Come si fa?
Ciao,
devo risalire alle due rette che compongono una conica spezzata partendo da questa equazione:
$ x^2+2xy+y^2 - 3x - 3y+2 = 0 $ devo arrivare a questa:
$ (x+y-2)(x+y-1) = 0 $
ho provato così ma non riesco a continuare: $ (x+y)^2-3(x+y)+2 = 0 $
Grazie in anticipo
Ciao a tutti, vorrei chiedervi un aiuto.
Ho una matrice A, n x n, simmetrica e definita positiva, e vorrei trovare una matrice Lambda, n x n, della quale sono note le prime 4 colonne, tale che
transpose(Lambda)*A*Lambda è diagonale
Avete idea di come poter determinare Lambda?
Grazie
Ciao a tutti...sto preparando degli esercizi di approfondimenti di algebra e mi trovo a risolvere le forme canoniche di Jordan.
In presenza di questa matrice:
A=$((3,4,4),(-3,-6,-8),(3,7,9))$
Inanzitutto ho calcolato il polinomio caratteristico calcolando il determinante della matrice A-$lambda$I e risulta:
det(A-$lambda$I)= ($lambda$-3)($lambda$-2)($lambda$-1)
e ho ottenuto cosi 3 autovalori distinti risalendo così alla forma canonica di Jordan ...
Salve,
mi si chiede di ricavare la formula $sin(\alpha-\beta)=sin \alpha cos \beta-cos \alpha sin \beta$ studiando il prodotto vettoriale dei due vettori unitari $u=cos\beta$i+$sin\beta<strong>j</strong>$$ e $v=cos\alpha$<strong>i</strong>+$sin\alphaj$$, con $0<=\alpha-\beta<=pi$. Ora, ho svolto il prodotto vettoriale ed ho ottenuto questo vettore: $u xx v=(sin\alphacos\beta-cos\alphasin\beta)k$, la cui unica componente è effettivamente la formula di $sin(\alpha-\beta)$. Il problema è che non riesco ad interpretare questo risultato. Perché il prodotto ...
Salve a tutti, ho questo esercizio:
Dati i vettori $ v=3i-4j, w=i-j, u=-i+2j $ calcolare: $ (v xx w) * u $
I miei dubbi sono i seguenti:
Il libro cosa intende per $ (v xx w) $ ?
Nella teoria non c'è questo simbolo ma appare solo il prodotto scalare indicato con $ v * w $ ed il prodotto vettoriale indicato con $ v ^^ w $
Grazie per l'aiuto. Se è possibile spiegatemi proprio praticamente lo svolgimento di $ (v xx w) $, in questo modo capisco subito. Grazie.
Salve a tutti, ho un problema nella risoluzione di questo esercizio:
Determinare la quadrica $Q$ che contenga la curva $gamma: \{(x^2-2xy=0),(x+y=0):}$, tangente in $P(0,0,1)$ alla retta $t: \{(x=0),(z=y+1):}$ ed avente il piano $2x-1=0$ come piano principale.
Anzitutto la quadrica apparterrà al fascio di quadriche composto da $Q'$ e $Q''$ ove $Q': x^2-2xy=0$ e $Q'': (x+y)(ax+by+cz+d)=0$.
Credo che questo esercizio si risolva calcolando della generica quadrica ...
ciao, sto studiando questo fascio di quadriche:
$ x^2 + 2y^2 - kz^2 - 2yz + 4y - k = 0 $
|B| = k(2k+5) (determinante matrice 4x4)
|A| = -2k-1 (determinante matrice 3x3)
Dopo aver esaminato i casi in cui la quadrica è un cono, un paraboloide ellittico e un iperboloide iperbolico, arrivo al caso in cui devo stabilire quando è:
un iperboloide ellittico oppure un ellissoide, cioè quando -5/2 < k < 0, per distingure tra iperboloide ellittico e ellissoide mi servono gli autovalori di A e quindi mi ...
Salve,
non riesco a svolgere questo esercizio sul triplo prodotto scalare.
"Se $ u * (v x w) != 0$ e $x$ è un vettore arbitrario tridimensionale, trovare i valori $\lambda$, $\mu$, e $\nu$ tali che $x=\lambdau+\muv+\nuw$"
Onestamente non so proprio dove mettere le mani. Ho letto le soluzioni e non mi hanno aiutato per niente. Qualsiasi aiuto sarebbe ben accetto.
Grazie!
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