Geometria e Algebra Lineare

Salve, ho questo problema: Determinare la retta passante per l'origine e incidente le rette: $ r: { ( x-2z+1=0 ),( y+3z-5=0 ):} $ $ s: { ( x-5z=0 ),( y+z+1=0 ):} $ Mi sono calcolato i parametri direttori di entrambe le rette $ Vr(+2,-1,1) $ $ Vs(-1,1,1) $ e poi non so proprio che fare. Che formula uso? la retta può essere calcolata da: Due punti sul piano. Un punto ed un vettore parallelo intersezione di due piani non paralleli. Sono arrivato alla conclusione che questa retta sarà sicuramente intersezione di ...

Ciao a tutti! All'università stiamo facendo la diagonalizzazione ma la professoressa ha spiegato solo la teoria. Ora ho da fare questo esercizio: "Si consideri la matrice simmetrica $ A= ( ( 2 , -2 , -1 ),( -2 , 5 , 2 ),( -1 , 2 , 2 ) ) $ : 1) determinare una matrice $ P $ (non necessariamente ortogonale) tale che $ P^-1AP=D $ , dove $ D $ è la matrice diagonale. 2) determinare una matrice ortogonale $ Q $ tale che $ Q^-1AQ=D $ ." Bene, io ho già trovato gli autovalori della ...

salve, ho questo problema molto BANALE ma di cui non riesco a capire la forma: Determinare i parametri direttore delle rette perpendicolare alle rette: $ r: { ( x-5z+1=0 ),( y+z=0 ):} $ $ r: { ( x-3z=0 ),( y+2z=0 ):} $ Mi sono calcolota i parametri direttori: $ Vr(5,-11) $ $ Vs(+3,-2,1) $ Per trovarmi i parametri direttori delle rette perpendicolari mi avvalgo del PRODOTTO SCALARE: $ (5,-11)x(1,6,1)=5-6+1=0 $ $ (3,-2.1)x(1,1-1)=3-2-1=0 &<br /> quindi i parametri direttori delle rette perpendicolari ad r e s sono:<br /> $(1,6,1)$ $(1,1-1)$.<br /> Il risultato è sbagliato, perchè sul libro ne appare uno cioè:<br /> $(1;2;7)$ Grazie per l'aiuto.

Non riesco ad esplicitare questo isomorfismo: $R^2=\frac{M(2)}{O(2)}$, ove $M(2)$ è il gruppo delle isometrie (lineari) del piano e $O(2)$ il gruppo ortogonale. Riuscite a darmi una mano? La cosa mi spiazza un attimo.

Buongiorno a tutti. Avrei qualche domanda circa la risoluzione del seguente esercizio: Sia dato l'endomorfismo $ F ( x, y , z ) in RR^3 rarr (hx + hy, x + y, 2hx + 3hy + hz) in RR^3 $ dipendente come è evidente dal parametro reale h. Adesso chiede due cose: a) Determinare i valori di h affinchè (1,-1,2) sia autovettore per F. b) Determinare i valori di h tali che F sia diagonalizzabile[/list:u:1ir4g6kv] Per il primo procedimento si dovrebbe trovare il polinomio caratteristico, ma non conoscendo l'altro parametro reale t vado incontro a ...

Salve ragazzi!! Non capisco come determinare la diagonalizzazione di una matrice al variare di un parametro,ad esempio: $((2,0,-1),(0,1,1),(0,k,k))$ inizio ponendo -t sulla diagonale ed ottengo: $((2-t,0,-1),(0,1-t,1),(0,k,k-t))$ calcolando il determinante ottengo che il polinomio caratteristico risulta: $2-t*[t*(t-1-k)]$ dove $t=0$ $t=2$ $t=1+k$ Da qui in poi mi serve conoscere come ragionare che ho le idee poco chiare su questo tipo di esercizi. Grazie in ...

In $RR^3$ si opera con un prodotto scalare $*$ tale che $( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )=0$ , $( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )*( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )=-2$ , $( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )=-3$ Si determini una base ortogonale del sottospazio $V=<( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>$ Allora prendo un vettore non isotropo della base, per esempio $v=( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )$ siccome $v$ è una famiglia ortogonale e senza isotropi, pongo $V=<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>+<( ( 1 ),( 2 ),( 2 ) )>^bot$ (con $+$ in questo caso indico la somma diretta). ogni vettore $x$ del ...

Si indichi una matrice $A in RR^(3x3)$ tale che: $A$ sia diagonalizzabile $kerA={x in RR^3: x_1+3x_2+3x_3=0}$ $ImA=<( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$ Allora trovo una base del $ker$, per esempio $kerA=<( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( -3 ),( 1 ),( 0 ) )>$ dalla teoria so che i due vettori della base del $ker$ sono autovettori di autovalore 0. imposto la base di $RR^3$ ovvero $RR^3=<( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( -3 ),( 1 ),( 0 ) ), v>$ con $v$ autovettore che devo stabilire conosco che $ImA=<A*( ( -3 ),( 0 ),( 1 ) ),A*( ( -3 ),( 1 ),( 0 ) ), A*v> = <A*v> = <( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )>$ quindi ...

Volevo avere conferma sulla risoluzione di questo mio esercizio perchè mi ha lasciato un pò perplesso. Sia $Sigma$ la sfera di centro $C(1,0,1)$ e raggio $1$, e sia $Gamma$ la circonferenza $Sigma nn pi$ ove $pi:y=0$ Determinare il fascio di quadriche $F$ contenenti $Gamma$ e tali che le rette $a: \{(x=1),(y=0):}$ e $b: \{(y=0),(x=z):}$ siano assi. Ora $Gamma$ ha equazione $\{(x^2+z^2-2x-2z+2=0),(y=0):}$. Pertanto il ...

Allora mi ritrovo di fronte a questo problema. Data una matrice A=$((5,0,0),(1,5,0),(0,0,5))$, determinare la sua forma canonica razionale. Allora io ho inziziato osservando che la matrice A non è in forma scalare e di conseguenza deg(min(A))>1. Successivamente scrivo la suddetta equazione : $A^2$+$k_1$A+$k_0$$A^0$=0 e scrivo le relative matrici che risultano essere: $((25,0,0),(10,25,0),(0,0,25))$+$((5k_1,0,0),(k_1,5k_1,0),(0,0,5k_1))$+$((k_0,0,0),(0,k_0,0),(0,0,k_0))$=0 Svolgo i calcoli ...

ciao a tutti... mi sto esercitando su esercizi di algebra lineare riguardanti le basi e le dimensioni dei sottospazi vettoriali... almeno fin'ora infatti ora mi trovo davanti un esercizio ke dice: Assegnati i seguenti sottospazi: $U={(x,y,z,t) in RR^4 : 3x+y-z=0, y+t=0}$ $W={(x,y,z,t) in RR^4 : x-z-t=0, x+z+t=0}$ Stabilire per quali valori del parametro reale $h$ il vettore $(0,1,1,h)$ appartiene a $UnnW$ cosa devo fare per prima cosa? devo trovare le dimensioni e le basi di $U, W, UnnW$? e poi ke ...

Ciao, è possibile ridurre una matrice con parametro con l'algoritmo di gauss? per esempio quasta matrice: $ ( ( 1, 2 , 2 ),( k-1 , k-2 , -2 ),( 1-k , 1-k , 1 ) ) $ ridotta normalmente mi viene: $ ( ( 1, 2 , 2 ),( k , k , 0 ),( 1/2 , 0 , 0 ) ) $ ridotta con Gauss: $ ( ( 1, 2 , 2 ),( 0 , -k , -k ),( 0 , 0 , k ) ) $ come mai questa differenza?

ciao a tutti, Il problema è il seguente: in un esercizio mi viene chiesto partendo dall'equazione di una parabola generica $(x-y)^2+x+y-2=0$ di trovare un'equazione canonica, vertice, fuoco e asse di simmetria. Ho trovato il vertice: $V=(1,1)$, l'asse di simmetria: $x-y=0$, un'equazione canonica $2y^2=\pm sqrt(2)x $, ora devo trovare il fuoco: faccio l'intersezione tra la circonferenza di centro V e di raggio $p/2=sqrt(2)/8$ (distanza tra fuoco e vertice) con l'asse nel ...

Ciao a tutti, ho un esercizio con cui non riesco a venire a capo. Devo dimostrare che : $ e^(tA) = ((cos(t), -sin(t)),(sin(t),cos(t)))$ $A=((0,1),(-1,0))$ A non ha autovalori. Io ho provato anche con la formula di eulero a sostituire e con il seno e il coseno ma penso che non valga in quanto t non é uguale a i numero immaginario. ho provato anche ad utilzzare la serie che definisce la funzione esponenziale ed analizzarla per numeri pari e dispari ma non ho trovato nulla di sensato...

Ciao ragazzi ho qualche dificolta' a capire i passaggi, mi potete aiutare perfavore. Grazie per la collaborazione. $ A=| ( 3 , -2 ),( 5 , -4 ) |;$ $ (sI-A)=| ( s-3 , 2 ),( -5 , s+4 ) |$ $<br /> Adesso devo trovare<br /> $ (sI-A)^(-1) $ Come si fa?

Ciao, devo risalire alle due rette che compongono una conica spezzata partendo da questa equazione: $ x^2+2xy+y^2 - 3x - 3y+2 = 0 $ devo arrivare a questa: $ (x+y-2)(x+y-1) = 0 $ ho provato così ma non riesco a continuare: $ (x+y)^2-3(x+y)+2 = 0 $ Grazie in anticipo

Ciao a tutti, vorrei chiedervi un aiuto. Ho una matrice A, n x n, simmetrica e definita positiva, e vorrei trovare una matrice Lambda, n x n, della quale sono note le prime 4 colonne, tale che transpose(Lambda)*A*Lambda è diagonale Avete idea di come poter determinare Lambda? Grazie

Ciao a tutti...sto preparando degli esercizi di approfondimenti di algebra e mi trovo a risolvere le forme canoniche di Jordan. In presenza di questa matrice: A=$((3,4,4),(-3,-6,-8),(3,7,9))$ Inanzitutto ho calcolato il polinomio caratteristico calcolando il determinante della matrice A-$lambda$I e risulta: det(A-$lambda$I)= ($lambda$-3)($lambda$-2)($lambda$-1) e ho ottenuto cosi 3 autovalori distinti risalendo così alla forma canonica di Jordan ...

Salve, mi si chiede di ricavare la formula $sin(\alpha-\beta)=sin \alpha cos \beta-cos \alpha sin \beta$ studiando il prodotto vettoriale dei due vettori unitari $u=cos\beta$i+$sin\beta<strong>j</strong>$$ e $v=cos\alpha$<strong>i</strong>+$sin\alphaj$$, con $0<=\alpha-\beta<=pi$. Ora, ho svolto il prodotto vettoriale ed ho ottenuto questo vettore: $u xx v=(sin\alphacos\beta-cos\alphasin\beta)k$, la cui unica componente è effettivamente la formula di $sin(\alpha-\beta)$. Il problema è che non riesco ad interpretare questo risultato. Perché il prodotto ...

Salve a tutti, ho questo esercizio: Dati i vettori $ v=3i-4j, w=i-j, u=-i+2j $ calcolare: $ (v xx w) * u $ I miei dubbi sono i seguenti: Il libro cosa intende per $ (v xx w) $ ? Nella teoria non c'è questo simbolo ma appare solo il prodotto scalare indicato con $ v * w $ ed il prodotto vettoriale indicato con $ v ^^ w $ Grazie per l'aiuto. Se è possibile spiegatemi proprio praticamente lo svolgimento di $ (v xx w) $, in questo modo capisco subito. Grazie.