Prodotto Scalare e Prodotto Vettoriale
Salve a tutti, ho questo esercizio:
Dati i vettori $ v=3i-4j, w=i-j, u=-i+2j $ calcolare: $ (v xx w) * u $
I miei dubbi sono i seguenti:
Il libro cosa intende per $ (v xx w) $ ?
Nella teoria non c'è questo simbolo ma appare solo il prodotto scalare indicato con $ v * w $ ed il prodotto vettoriale indicato con $ v ^^ w $
Grazie per l'aiuto. Se è possibile spiegatemi proprio praticamente lo svolgimento di $ (v xx w) $, in questo modo capisco subito. Grazie.
Dati i vettori $ v=3i-4j, w=i-j, u=-i+2j $ calcolare: $ (v xx w) * u $
I miei dubbi sono i seguenti:
Il libro cosa intende per $ (v xx w) $ ?
Nella teoria non c'è questo simbolo ma appare solo il prodotto scalare indicato con $ v * w $ ed il prodotto vettoriale indicato con $ v ^^ w $
Grazie per l'aiuto. Se è possibile spiegatemi proprio praticamente lo svolgimento di $ (v xx w) $, in questo modo capisco subito. Grazie.
Risposte
è il prodotto vettoriale!
"$\Lambda$", come simbolo, indica, più in generale, (per quanto io ne sappia) la
antisimmetria.
A proposito di antisimmetria, verifica che $(uXv)*w = (wXu)*v= (vXw)*u$ se non mi son sbagliato
io a 'girare'... (sennò verificherai che ho sbagliato io
)
"$\Lambda$", come simbolo, indica, più in generale, (per quanto io ne sappia) la
antisimmetria.
A proposito di antisimmetria, verifica che $(uXv)*w = (wXu)*v= (vXw)*u$ se non mi son sbagliato
io a 'girare'... (sennò verificherai che ho sbagliato io
)
Come modo "pratico" per svolgere il 'prodotto vettore' o 'prodotto croce',
ognuno, ritengo, ne adotta uno che gli è più congeniale.
A me viene bene considerare le componenti, e....la mia 'tabellina':
un per due tre,
un per tre meno due...
(
con questo puoi scherzare coi tuoi colleghi, a dire: un per due tre!);
altri si troveranno meglio con il determinante simbolico, ... .
In generale, ricorda: ....123123123... --> + ...213213213... --> - .
(avrai a contar "rotori"!...)
ognuno, ritengo, ne adotta uno che gli è più congeniale.
A me viene bene considerare le componenti, e....la mia 'tabellina':
un per due tre,
un per tre meno due...
(
con questo puoi scherzare coi tuoi colleghi, a dire: un per due tre!);altri si troveranno meglio con il determinante simbolico, ... .
In generale, ricorda: ....123123123... --> + ...213213213... --> - .
(avrai a contar "rotori"!...)
Grazie! quindi se io devo fare $ (v xx w) $ svolgerò in questo modo:
$ v=3i-4j, w=i-j $
$ (3*1+4*1)=7 $ in questo modo mi calcolo la proiezione del vettore, infatti facendo questo prodotto esce uno scalare, se v e w sono perpendicolari $ v xx W =0 $.
Tutto giusto?
Però mi sorge un dubbio, i e j sono i versori che hanno direzione degli assi x,y, quindi quando faccio il prodotto Vettore non considero i e j ed "uso" solo il coefficiente numerico posto davanti ad essi?
Grazie per l'aiuto.
$ v=3i-4j, w=i-j $
$ (3*1+4*1)=7 $ in questo modo mi calcolo la proiezione del vettore, infatti facendo questo prodotto esce uno scalare, se v e w sono perpendicolari $ v xx W =0 $.
Tutto giusto?
Però mi sorge un dubbio, i e j sono i versori che hanno direzione degli assi x,y, quindi quando faccio il prodotto Vettore non considero i e j ed "uso" solo il coefficiente numerico posto davanti ad essi?
Grazie per l'aiuto.
0k risolto era come dicevo sopra Grazie! 
Quello è il prodotto scalare $v*w$, che ti dà uno scalare (sì, in questo caso è $7$).
Il "prodotto vettoriale", $vxw$ ti dà un vettore, che è ortogonale ad entrambi $v$ e $w$,
ed ha modulo $||v||*||w||*sin hat(vw)$. -e questo è massimo se sono ortogonali (nullo se paralleli).
Nota che è l'area di un parallelogramma in $E^2$ con lati (contigui) paralleli ai due vettori.
Il prodotto
vettoriale ha senso solo in $RR^3$, per cui
i tuoi vettori saranno:
$v=(3hat(i)-4hat(j) +0hat(k))$, $w=(1hat(i)-1hat(j)+0hat(k))$
Il vettore risulatante $z$ del prodotto sarà ortogonale ad entrambi, perciò
$z=(0hat(i)+0hat(j)+hhat(k))$.
qual è $h$?
un per uno zero,
un per due tre...
CIOE'! :- $ z^3 =v^1*w^2 - v^2*w^1$; vedi? dicevo:
312... -->"+", 321... -->"-".
Allora -$vxw=(0hat(i) + 0hat(j) +((-3) - (-4) = 1)hat(k))$.
Poi questo andrà moltiplicato scalarmente per l'altro vettore.
-perchè lo scalare risultante sarà in modulo il
volume di un prisma a facce -parallelogrammi e spigoli
insistenti nello stesso vertice paralleli ai tre vettori in $E^3$?
!Ma infatti vedo ora che è nullo -com era ovvio, perchè i tre vettori giacciono sullo stesso piano.
Il "prodotto misto", che è quello che hai tu: risulatato di prodotto vettore scalare altro vettore, ti
fa vedere se tre vettori sono o no linearmente indipendenti.
Il prodotto misto pui vederlo come determinante
di una matrice che ammetta come sue (colonne diciamo, anche se il determinante è uguale...) i vettori (nell'ordine!)
$u$, $v$, $w$ (ovvero in permutazioni pari...)
Il "prodotto vettoriale", $vxw$ ti dà un vettore, che è ortogonale ad entrambi $v$ e $w$,
ed ha modulo $||v||*||w||*sin hat(vw)$. -e questo è massimo se sono ortogonali (nullo se paralleli).
Nota che è l'area di un parallelogramma in $E^2$ con lati (contigui) paralleli ai due vettori.
Il prodotto
vettoriale ha senso solo in $RR^3$, per cui
i tuoi vettori saranno:
$v=(3hat(i)-4hat(j) +0hat(k))$, $w=(1hat(i)-1hat(j)+0hat(k))$
Il vettore risulatante $z$ del prodotto sarà ortogonale ad entrambi, perciò
$z=(0hat(i)+0hat(j)+hhat(k))$.
qual è $h$?
un per uno zero,
un per due tre...
CIOE'! :- $ z^3 =v^1*w^2 - v^2*w^1$; vedi? dicevo:312... -->"+", 321... -->"-".
Allora -$vxw=(0hat(i) + 0hat(j) +((-3) - (-4) = 1)hat(k))$.
Poi questo andrà moltiplicato scalarmente per l'altro vettore.
-perchè lo scalare risultante sarà in modulo il
volume di un prisma a facce -parallelogrammi e spigoli
insistenti nello stesso vertice paralleli ai tre vettori in $E^3$?
!Ma infatti vedo ora che è nullo -com era ovvio, perchè i tre vettori giacciono sullo stesso piano.
Il "prodotto misto", che è quello che hai tu: risulatato di prodotto vettore scalare altro vettore, ti
fa vedere se tre vettori sono o no linearmente indipendenti.
Il prodotto misto pui vederlo come determinante
di una matrice che ammetta come sue (colonne diciamo, anche se il determinante è uguale...) i vettori (nell'ordine!)
$u$, $v$, $w$ (ovvero in permutazioni pari...)
grazie!
grazie!
grazie!
grazie!
grazie!
Prego! Colgo
l'occasione dell'argomento per
dire (come c'era un topic che lessi un annetto fa) come
mai, ora mi venne in mente, si usa fare il prodotto vettoriale in $RR^3$.
In effetti esiste un prodotto vettoriale generalizzato ad $RR^n$ -dico
che, OVVIAMENTE, ilp.vett. tra DUE vettori ha senso solo in $RR^3$.
Generalizzato, serva penso a "misurare" un elemento di iperpiano ed ad orienatarlo (come
così serve per il piano in $RR^3$). Mh, a ripassare
un po' circa le varietà differenziali, ne direi più "formalmente", forse meglio; ma penso si sia capito . Bye.
l'occasione dell'argomento per
dire (come c'era un topic che lessi un annetto fa) come
mai, ora mi venne in mente, si usa fare il prodotto vettoriale in $RR^3$.
In effetti esiste un prodotto vettoriale generalizzato ad $RR^n$ -dico
che, OVVIAMENTE, ilp.vett. tra DUE vettori ha senso solo in $RR^3$.
Generalizzato, serva penso a "misurare" un elemento di iperpiano ed ad orienatarlo (come
così serve per il piano in $RR^3$). Mh, a ripassare
un po' circa le varietà differenziali, ne direi più "formalmente", forse meglio; ma penso si sia capito . Bye.
"orazioster":
un topic che lessi un annetto fa
Intendi questo, Orazio?
https://www.matematicamente.it/forum/per ... 41898.html
sì, grazie! Non
ho tempo per 'spulciare' le pagine...
Eh, ora come ora, come dissi -mi venne
giusto in mente che, come operazione tra DUE vettori, ovviamente
ha senso solo in 3 dimensioni -avendone
a dare uno ortogonale ad entrambi.
Tra tre vettori, avrà senso solo in 4, e così via.
ho tempo per 'spulciare' le pagine...
Eh, ora come ora, come dissi -mi venne
giusto in mente che, come operazione tra DUE vettori, ovviamente
ha senso solo in 3 dimensioni -avendone
a dare uno ortogonale ad entrambi.
Tra tre vettori, avrà senso solo in 4, e così via.
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