Fascio di quadriche
Salve a tutti, ho un problema nella risoluzione di questo esercizio:
Determinare la quadrica $Q$ che contenga la curva $gamma: \{(x^2-2xy=0),(x+y=0):}$, tangente in $P(0,0,1)$ alla retta $t: \{(x=0),(z=y+1):}$ ed avente il piano $2x-1=0$ come piano principale.
Anzitutto la quadrica apparterrà al fascio di quadriche composto da $Q'$ e $Q''$ ove $Q': x^2-2xy=0$ e $Q'': (x+y)(ax+by+cz+d)=0$.
Credo che questo esercizio si risolva calcolando della generica quadrica del fascio il piano polare di $Q$ ed imponendo che la retta $t$ vi appartenga.
E successivamente imponendo che il piano $pi$ sia principale, cioè determinando il punto $A_(infty)$ che sia perpendicolare al piano.
Il problema è che nella fattispecie, $pi_P$ ha equazione $(c+d)x+(c+d)y=0$, quindi imponendo che la retta sia contenuta in esso ottengo la condizione $c=-d$, che in altri termini vuol dire che tale piano polare non esiste.
Grazie a tutti.
EDIT Sistemata equazione!
Determinare la quadrica $Q$ che contenga la curva $gamma: \{(x^2-2xy=0),(x+y=0):}$, tangente in $P(0,0,1)$ alla retta $t: \{(x=0),(z=y+1):}$ ed avente il piano $2x-1=0$ come piano principale.
Anzitutto la quadrica apparterrà al fascio di quadriche composto da $Q'$ e $Q''$ ove $Q': x^2-2xy=0$ e $Q'': (x+y)(ax+by+cz+d)=0$.
Credo che questo esercizio si risolva calcolando della generica quadrica del fascio il piano polare di $Q$ ed imponendo che la retta $t$ vi appartenga.
E successivamente imponendo che il piano $pi$ sia principale, cioè determinando il punto $A_(infty)$ che sia perpendicolare al piano.
Il problema è che nella fattispecie, $pi_P$ ha equazione $(c+d)x+(c+d)y=0$, quindi imponendo che la retta sia contenuta in esso ottengo la condizione $c=-d$, che in altri termini vuol dire che tale piano polare non esiste.
Grazie a tutti.
EDIT Sistemata equazione!
Risposte
Ciao Mistake!
Spero di non dire cavolate, è da un po' che non risolvo esercizi del genere.
L'equazione del tuo fascio è $k(x-2xy)+(x+y)(ax+by+cz+d)=0$
Se non ho fatto male i calcoli, l'equazione del piano polare di $P$ non è quello che hai trovato tu. Controlla i calcoli.
Spero di non dire cavolate, è da un po' che non risolvo esercizi del genere.
L'equazione del tuo fascio è $k(x-2xy)+(x+y)(ax+by+cz+d)=0$
Se non ho fatto male i calcoli, l'equazione del piano polare di $P$ non è quello che hai trovato tu. Controlla i calcoli.
Scusami Cirasa, mi sono accorto di aver sbagliato a trascrivere la curva $gamma$. Infatti essa ha equazione $\{(x^2-2xy=0),(x+y=0):}$
e non $x-2xy=0$ come avevo erroneamente scritto.
Scusatemi.
e non $x-2xy=0$ come avevo erroneamente scritto.
Scusatemi.
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