Fascio di quadriche (2)
Volevo avere conferma sulla risoluzione di questo mio esercizio perchè mi ha lasciato un pò perplesso.
Sia $Sigma$ la sfera di centro $C(1,0,1)$ e raggio $1$, e sia $Gamma$ la circonferenza $Sigma nn pi$ ove $pi:y=0$
Determinare il fascio di quadriche $F$ contenenti $Gamma$ e tali che le rette $a: \{(x=1),(y=0):}$ e $b: \{(y=0),(x=z):}$ siano assi.
Ora $Gamma$ ha equazione $\{(x^2+z^2-2x-2z+2=0),(y=0):}$. Pertanto il generico fascio sarà del tipo $x^2+z^2-2x-2z+2+y(ax+by+cz+d)=0$.
Dire che $a,b$ sono assi vuol dire che sono intersezione di piani principali, quindi i piani $\pi_1:y=0,\pi_2: z=x, \pi_3:x=1$ sono principali, ovvero esisteranno tre punti impropri $A,B,C$ poli rispettivamente dei piani $\pi_1,\pi_2,\pi_3$ ortogonali ai propri piani polari.
Pertanto basterà calcolare i piani polari di $(0,1,0,0),(1,0,-1,0),(1,0,0,0)$ ed imporre che siano uguali ai piani assegnati.
Otteniamo così il fascio $x^2+ky^2+z^2-2x-2z+2=0$.
E' corretto questo ragionamento?
Grazie mille!
Sia $Sigma$ la sfera di centro $C(1,0,1)$ e raggio $1$, e sia $Gamma$ la circonferenza $Sigma nn pi$ ove $pi:y=0$
Determinare il fascio di quadriche $F$ contenenti $Gamma$ e tali che le rette $a: \{(x=1),(y=0):}$ e $b: \{(y=0),(x=z):}$ siano assi.
Ora $Gamma$ ha equazione $\{(x^2+z^2-2x-2z+2=0),(y=0):}$. Pertanto il generico fascio sarà del tipo $x^2+z^2-2x-2z+2+y(ax+by+cz+d)=0$.
Dire che $a,b$ sono assi vuol dire che sono intersezione di piani principali, quindi i piani $\pi_1:y=0,\pi_2: z=x, \pi_3:x=1$ sono principali, ovvero esisteranno tre punti impropri $A,B,C$ poli rispettivamente dei piani $\pi_1,\pi_2,\pi_3$ ortogonali ai propri piani polari.
Pertanto basterà calcolare i piani polari di $(0,1,0,0),(1,0,-1,0),(1,0,0,0)$ ed imporre che siano uguali ai piani assegnati.
Otteniamo così il fascio $x^2+ky^2+z^2-2x-2z+2=0$.
E' corretto questo ragionamento?
Grazie mille!
Risposte
Mi autorispondo, a titolo informativo, nel caso in cui qualcuno volesse prender spunto da questo ragionamento.
E' sbagliato.
Non è vero che quelli indicati sono piani principali, ma solamente $y=0$ lo è, contenendo i due assi.
Quindi il ragionamento che ho fatto è valido solo per il primo piano, da cui $d=a=0$.
Oltre dall'intersezione delle due rette otteniamo un punto, chiamiamolo $V(1,0,1)$ che rappresenta il vertice del nostro paraboloide (ed in effetti ci troviamo in presenza di un paraboloide) da cui otteniamo l'ultima condizione, cioè $c=0$.
Questa è la risoluzione indicatami dalla professoressa. Ci sono ancora punti che devo chiarire in verità, ma almeno sia chiaro che il mio ragionamento non è totalmente corretto!
E' sbagliato.
Non è vero che quelli indicati sono piani principali, ma solamente $y=0$ lo è, contenendo i due assi.
Quindi il ragionamento che ho fatto è valido solo per il primo piano, da cui $d=a=0$.
Oltre dall'intersezione delle due rette otteniamo un punto, chiamiamolo $V(1,0,1)$ che rappresenta il vertice del nostro paraboloide (ed in effetti ci troviamo in presenza di un paraboloide) da cui otteniamo l'ultima condizione, cioè $c=0$.
Questa è la risoluzione indicatami dalla professoressa. Ci sono ancora punti che devo chiarire in verità, ma almeno sia chiaro che il mio ragionamento non è totalmente corretto!
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