Intersezione Quadrica con Piano
Ciao a tutti. Mi trovo ad affrontare l'intersezione tra una quadrica ed un piano ed avrei un dubbio. Se io metto a sistema la mia quadrica con il mio piano in questo modo:
$\{(P=P_0+t(v)+s(w)),(P^(t)AP+2a^(t)P+a_(00)=0):}$
dove la prima equazione rappresenta il piano e la seconda la quadrica, ottengo un equazione di secondo grado nelle incognite $t$ ed $s$ che erano i parametri del piano. Ma io so che una conica è definita come il luogo geometrico dei punti del piano le cui coordinate $x$ ed $y$ soddisfano un equazione polinomiale di secondo grado, per cui la mia intersezione sono sicuro essere una conica.
Però stavo riflettendo sulle possibilità di conica ed ho pensato ai tre casi:
-il piano è secante alla quadrica: ed allora potrò ottenere ellissi, iperboli e via dicendo;
-il piano è tangente alla quadrica: allora avrò un unico punto e posso pensare alla conica come due rette immaginarie incidenti in quanto queste incidono in un punto reale;
-il piano è esterno alla quadrica: che conica ottengo?
mi servirebbe sapere se il mio ragionamento è corretto nei tre casi e soprattutto sapere cosa si ottiene nell'ultimo, sempre che gli altri due siano corretti.
$\{(P=P_0+t(v)+s(w)),(P^(t)AP+2a^(t)P+a_(00)=0):}$
dove la prima equazione rappresenta il piano e la seconda la quadrica, ottengo un equazione di secondo grado nelle incognite $t$ ed $s$ che erano i parametri del piano. Ma io so che una conica è definita come il luogo geometrico dei punti del piano le cui coordinate $x$ ed $y$ soddisfano un equazione polinomiale di secondo grado, per cui la mia intersezione sono sicuro essere una conica.
Però stavo riflettendo sulle possibilità di conica ed ho pensato ai tre casi:
-il piano è secante alla quadrica: ed allora potrò ottenere ellissi, iperboli e via dicendo;
-il piano è tangente alla quadrica: allora avrò un unico punto e posso pensare alla conica come due rette immaginarie incidenti in quanto queste incidono in un punto reale;
-il piano è esterno alla quadrica: che conica ottengo?
mi servirebbe sapere se il mio ragionamento è corretto nei tre casi e soprattutto sapere cosa si ottiene nell'ultimo, sempre che gli altri due siano corretti.
Risposte
Non capisco il tuo formalismo.
Comunque un piano reale tangente un quadrica reale determina una conica reale degenere in due rette reali o complesse coniugate.
Per il tuo dubbio finale ma sei in uno spazio affine?
Comunque un piano reale tangente un quadrica reale determina una conica reale degenere in due rette reali o complesse coniugate.
Per il tuo dubbio finale ma sei in uno spazio affine?
-il piano è esterno alla quadrica: che conica ottengo?
L'insieme vuoto. Ma in che spazio stai lavorando?
"j18eos":
Per il tuo dubbio finale ma sei in uno spazio affine?
Si sono in uno spazio affine.
Apparte il formalismo, che mi serviva solo per vedere che l'intersezione tra quadrica e piano, senza restrizioni su quest'ultimo, mi da una conica, sapete cosa ottengo se il piano è esterno? Avrei pensato a delle rette immaginarie parallele ma ho dei dubbi. Voi che mi dite?
Se il piano è esterno alla quadrica, l'intersezione è nulla. Considera per esempio la sfera unitaria e il piano {x = 10}. E' evidente in questo caso che non esistono punti con coordinate reali di norma unitaria e prima coordinata uguale a 10.
EDIT: corretto l'errore.
EDIT: corretto l'errore.
"apatriarca":
Se il piano è esterno alla quadrica, l'intersezione è nulla. Considera per esempio la sfera unitaria e il piano {x = 10}. E' evidente in questo caso che non esistono punti con coordinate reali, o complesse, di norma unitaria e prima coordinata uguale a 10.
ma allora non è quindi vero che l'intersezione tra quadrica e piano ci dà sempre una conica?
Negli spazi affini reali sì; ma negli spazi proiettivi complessi no!
"j18eos":
negli spazi proiettivi complessi no!
quindi se prendessi in esame gli spazi proiettivi complessi cosa otterrei nei tre casi?
Mi sono appena reso conto di aver detto una stro**ata... Considera il caso precedente. Cioè ${x = 10} \cap {x^2 + y^2 + z^2 = 1}$. L'equazione dell'intersezione è $y^2 + z^2 = -99$ che non ha soluzioni in $RR$, ma ne ha nei numeri complessi. Si tratta di una conica priva di punti a coordinate reali. Nota però che uno dei due potrebbe essere reale. In generale ottieni un risultato simile a questo. Ha però secondo me senso considerare questa conica solo nello spazio affine complesso, se stai lavorando con i reali puoi secondo me ignorare queste soluzioni ed affermare che il piano e la quadrica hanno intersezione nulla nello spazio affine reale.
"apatriarca":
In generale ottieni un risultato simile a questo. Ha però secondo me senso considerare questa conica solo nello spazio affine complesso, se stai lavorando con i reali puoi secondo me ignorare queste soluzioni ed affermare che il piano e la quadrica hanno intersezione nulla nello spazio affine reale.
Chiarissimo..mentre in quello complesso cosa otterrei?
Rispondendo alla tua ultima domanda rivolta a me penso di poter affermare senza crearti confusione che quanto t'ho scritto in precedenza resta valido. Altrimenti ti farò un riassunto completo!
No j18eos ora mi è tutto chiaro..mi sono rivisto bene le cose. Piuttosto, non so se il mio formalismo iniziale era corretto, ma se io volessi far vedere che l'intersezione tra quadrica e piano dà una conica era giusto il mio procedimento del sistema e poi di avere come risultato un polinomio di secondo grado?
più precisamente otterrei con la mia scrittura:
$[((P_0)^t)A+t(v^t)A+s(w^t)A][P_0+tv+sw]+2(a^t)(P_0)+2(a^t)vt+2(a^t)ws+a_(00)=0$
e quindi se non sbaglio gli eventuali punti di intersezione si ottengono come punti del piano le cui coordinate affini $t,s$ soddisfano ad un equazione polinomiale di secondo grado(conica).
più precisamente otterrei con la mia scrittura:
$[((P_0)^t)A+t(v^t)A+s(w^t)A][P_0+tv+sw]+2(a^t)(P_0)+2(a^t)vt+2(a^t)ws+a_(00)=0$
e quindi se non sbaglio gli eventuali punti di intersezione si ottengono come punti del piano le cui coordinate affini $t,s$ soddisfano ad un equazione polinomiale di secondo grado(conica).
Il ragionamento è corretto, i conti non te li saprei controllare. 
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