Dubbio Diagonalizzazione con Parametro
Salve, sto affrontando un esercizio di diagonalizzazione di un endomorfismo con parametro ed ho un dubbio sulla diagonalizzazione, testo:
$f:RR^3 -> RR^3$ $(x,y,z) -> (-y+kz,x+ky-2z,-y+kz), k in RR$
1) determinare i valori di K per cui $f$ è invertibile, negli altri casi img e ker f.
2) determinare per quali valori di k l'endomorfismo è diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare $f$
il punto 1 l'ho risolto: f non è mai invertibile ed ho trovato Img e Ker (in entrambi figura il parametro k)
nel punto 2 ho trovato il determinante di $(A-lambdaI)$ -> $ | ( -lambda , -1 , k ),( 1 , k-lambda , -2 ),( 0 , -1 , k-lambda ) | =...=-lambda(k-lambda)(k-lambda)=0$
ed arrivato a questo punto non so come comportarmi; gli autovalori sono $0,k,k?$
sono 3 (ok = dim spazio) ma non sono distinti
, quindi l'endomorfismo non è diagonalizzabile? 
(ma se lo fosse come diagonalizzo se c'è parametro?)
spero in un vostro suggerimento, Grazie!
$f:RR^3 -> RR^3$ $(x,y,z) -> (-y+kz,x+ky-2z,-y+kz), k in RR$
1) determinare i valori di K per cui $f$ è invertibile, negli altri casi img e ker f.
2) determinare per quali valori di k l'endomorfismo è diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare $f$
il punto 1 l'ho risolto: f non è mai invertibile ed ho trovato Img e Ker (in entrambi figura il parametro k)
nel punto 2 ho trovato il determinante di $(A-lambdaI)$ -> $ | ( -lambda , -1 , k ),( 1 , k-lambda , -2 ),( 0 , -1 , k-lambda ) | =...=-lambda(k-lambda)(k-lambda)=0$
ed arrivato a questo punto non so come comportarmi; gli autovalori sono $0,k,k?$
sono 3 (ok = dim spazio) ma non sono distinti
, quindi l'endomorfismo non è diagonalizzabile? (ma se lo fosse come diagonalizzo se c'è parametro?)
spero in un vostro suggerimento, Grazie!
Risposte
Devi considerare vari casi :
*$ k=0 $ allora l'autovalore $lambda=0 $ ha molteplicità 3 ; l'endomorfismo è diagonalizzabile se l'autospazio relativo ha dimensione 3 .
*$k ne 0 $ si ha un autovalore $lambda =0 $ di molteplicità = 1 e un autovalore $ lambda = k $ di molteplicità 2; l'endo è diagonalizzabile se l'autospazio relativo a quest'ultimo autovalore ha dimensione 2.
*$ k=0 $ allora l'autovalore $lambda=0 $ ha molteplicità 3 ; l'endomorfismo è diagonalizzabile se l'autospazio relativo ha dimensione 3 .
*$k ne 0 $ si ha un autovalore $lambda =0 $ di molteplicità = 1 e un autovalore $ lambda = k $ di molteplicità 2; l'endo è diagonalizzabile se l'autospazio relativo a quest'ultimo autovalore ha dimensione 2.
Se non ho sbagliato i conti ( controlla !!) gli autovalori non sono quelli che hai detto tu ma
$lambda_1 = 0$
$lambda_2 = k+1 $
$ lambda_3 = k-1 $
se gli autovalori sono distinti allora l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Bisogna allora vedere i casi , cioè i valori di $ k $ per cui gli autovalori non sono più distinti e vedere la dimensione del corrispondente autospazio.
Bisogna distinguere i casi
*$ k=1 $
*$k=-1 $
*$ k ne 1 , k ne -1 $ in questo caso l'endom è diagonalizzabile gli altri due casi sono da studiare ok ?
$lambda_1 = 0$
$lambda_2 = k+1 $
$ lambda_3 = k-1 $
se gli autovalori sono distinti allora l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Bisogna allora vedere i casi , cioè i valori di $ k $ per cui gli autovalori non sono più distinti e vedere la dimensione del corrispondente autospazio.
Bisogna distinguere i casi
*$ k=1 $
*$k=-1 $
*$ k ne 1 , k ne -1 $ in questo caso l'endom è diagonalizzabile gli altri due casi sono da studiare ok ?
Grazie Mille, ci sto lavorando, appena raggiungo una conclusione ti faccio sapere...
ricontrollando ho commesso un errore nel calcolo del determinante, quindi ho: $[-lambda(k-lambda)(k-lambda)]+lambda$
ma ho provato più volte e non riesco ad arrivare alla tua conclusione:
mi potresti esporre il passaggio che fai per favore?
non capisco come arrivare a k+1,k-1
Grazie
ma ho provato più volte e non riesco ad arrivare alla tua conclusione:
"Camillo":
$lambda_1 = 0$
$lambda_2 = k+1 $
$ lambda_3 = k-1 $
mi potresti esporre il passaggio che fai per favore?
non capisco come arrivare a k+1,k-1
Grazie
Il determinante è corretto raccogli $ lambda $ a fattor comune e fai i conti....risolvi rispetto a $lambda $ l'equazione di secondo grado che ottieni.
ho seguito il tuo consiglio, dovrebbe essere semplice ma credo di fare sempre lo stesso errore ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
ottengo una eq. di secondo grado in $k$ non in $lambda$,
ti scrivo i passaggi che faccio:
$-lambda(k-lambda)(k-lambda)+lambda = lambda(-1(k-1)(k-1)+1)=lambda(-1(k^2-2k+1)+1)=lambda(-k^2+2k-1+1)=-k^2lambda+2klambda$
Grazie per l'aiuto e per la pazienza
ottengo una eq. di secondo grado in $k$ non in $lambda$,
ti scrivo i passaggi che faccio:$-lambda(k-lambda)(k-lambda)+lambda = lambda(-1(k-1)(k-1)+1)=lambda(-1(k^2-2k+1)+1)=lambda(-k^2+2k-1+1)=-k^2lambda+2klambda$
Grazie per l'aiuto e per la pazienza
Eh no !!! 
Non si raccoglie così
ma $-lambda(k-lambda)(k-lambda)+lambda = -lambda [ (k-lambda)^2 -1] =... $
Non si raccoglie così
ma $-lambda(k-lambda)(k-lambda)+lambda = -lambda [ (k-lambda)^2 -1] =... $
l'ho corretto 
:
$-lambda[(k-lambda)^2-1]=-lambda(lambda^2-2klambda+k^2-1) -> lambda_1=k+1, lambda_2=k-1$ ed il $lambda$ fuori parentesi -> $lambda=0$
ora gli autovalori sono corretti, procedo a risolvere il problema principale, ovvero la diagonalizzazione, seguendo i tuoi consigli e pomeriggio posto il risultato.
:$-lambda[(k-lambda)^2-1]=-lambda(lambda^2-2klambda+k^2-1) -> lambda_1=k+1, lambda_2=k-1$ ed il $lambda$ fuori parentesi -> $lambda=0$
ora gli autovalori sono corretti, procedo a risolvere il problema principale, ovvero la diagonalizzazione, seguendo i tuoi consigli e pomeriggio posto il risultato.
avendo 3 autovalori distinti l'endomorfismo è diagonalizzabile (siamo in $RR^3$),
quindi devo studiare i casi $k=1,k=-1,k!=1,k!=-1$ per poter rispondere alla domanda: per quali valori di k l'endomorfismo è diagonalizzabile; giusto?
per $k=1$ da $det(A-lambdaI)$ ottengo i seguenti autovalori: $lambda_1=-1, lambda_2=0$
per $k=-1$ ottengo: $lambda_1=1, lambda_2=0$
ma ho ottenuto solo due autovalori, però riflettendoci in entrambi i casi l'eq di secondo grado è spuria ed avendo $delta =0$ ammette due soluzioni coincidenti, quindi io avrei tre autovalori cioè:
per $k=1 :$
$lambda_1=-1$
$lambda_2=-1$
$lambda_2=0$
per $k=-1 :$
$ lambda_1=1$
$lambda_2=1$
$lambda_3=0$
è corretto?
poi, perchè:
per i primi due casi ($k=1$, $k=-1$) non avendo tre autovalori distinti devo controllare se $ma(lambda)=mg(lambda)$ oppure è già chiaro che l'endomorfismo (per questi valori) non è diagonalizzabile?
questo parametro mi crea una confusione... comunque chiarendo questi dubbi credo di poter diagonalizzare tranquillamente, cioè per poter rispondere alla domanda: ...e per tali valori (di k) diagonalizzare $f$ basta fare una normale diagonalizzazione ($P^-1AP$)
Grazie
quindi devo studiare i casi $k=1,k=-1,k!=1,k!=-1$ per poter rispondere alla domanda: per quali valori di k l'endomorfismo è diagonalizzabile; giusto?
per $k=1$ da $det(A-lambdaI)$ ottengo i seguenti autovalori: $lambda_1=-1, lambda_2=0$
per $k=-1$ ottengo: $lambda_1=1, lambda_2=0$
ma ho ottenuto solo due autovalori, però riflettendoci in entrambi i casi l'eq di secondo grado è spuria ed avendo $delta =0$ ammette due soluzioni coincidenti, quindi io avrei tre autovalori cioè:
per $k=1 :$
$lambda_1=-1$
$lambda_2=-1$
$lambda_2=0$
per $k=-1 :$
$ lambda_1=1$
$lambda_2=1$
$lambda_3=0$
è corretto?
poi, perchè:
"Camillo":
...*$ k ne 1 , k ne -1 $ in questo caso l'endom è diagonalizzabile...
per i primi due casi ($k=1$, $k=-1$) non avendo tre autovalori distinti devo controllare se $ma(lambda)=mg(lambda)$ oppure è già chiaro che l'endomorfismo (per questi valori) non è diagonalizzabile?
questo parametro mi crea una confusione... comunque chiarendo questi dubbi credo di poter diagonalizzare tranquillamente, cioè per poter rispondere alla domanda: ...e per tali valori (di k) diagonalizzare $f$ basta fare una normale diagonalizzazione ($P^-1AP$)
Grazie
I tre autovalori sono
$lambda_1= k+1 $
$lambda_2= k-1 $
$lambda_3=0 $
se i tre autovalori sono distinti e quindi se $k ne +1, ne -1 $ allora gli autovalori hanno molteplicità algebrica = 1 cosi come la molteplicità geometrica è pure =1 e la matrice è diagonalizzabile.
se invece $k=1 $ allora $lambda_1 = 2 ; lambda_2 = 0 ; lambda_3 = 0 $ quindi la molteplicità algebrica dell'autovalore $0 $ è 2 e bisogna verificare che anche la molteplicità geometrica sia 2 ; in tal caso la matrice è diagonalizzabile altrimenti non lo è.
se poi $ k= -1 $ gli autovalori sono $lambda_1 = 0 ; lambda_2 = -2 ; lambda_3 = 0 $ e ancora l'autovalore $ 0 $ ha molteplicità aritmetica =2 e bisogna verificare etc.
$lambda_1= k+1 $
$lambda_2= k-1 $
$lambda_3=0 $
se i tre autovalori sono distinti e quindi se $k ne +1, ne -1 $ allora gli autovalori hanno molteplicità algebrica = 1 cosi come la molteplicità geometrica è pure =1 e la matrice è diagonalizzabile.
se invece $k=1 $ allora $lambda_1 = 2 ; lambda_2 = 0 ; lambda_3 = 0 $ quindi la molteplicità algebrica dell'autovalore $0 $ è 2 e bisogna verificare che anche la molteplicità geometrica sia 2 ; in tal caso la matrice è diagonalizzabile altrimenti non lo è.
se poi $ k= -1 $ gli autovalori sono $lambda_1 = 0 ; lambda_2 = -2 ; lambda_3 = 0 $ e ancora l'autovalore $ 0 $ ha molteplicità aritmetica =2 e bisogna verificare etc.
io invece sostituivo il k al polinomio caratteristico e mi ricalcolavo gli autovalori.quindi devo sostituire il k direttamente agli autovalori... capito!
mi metto subito al lavoro...
Grazie ancora
per $K=-1 -> V(0)={(-beta,beta,-beta)|beta in RR}$ e coincide con il ker; ma ha dim=1 quindi $f$ non è diagonalizzabile.
per $K=1 -> V(0)={(gamma,gamma,gamma)|gamma in RR}$ ma non coincide con il ker (è normale $V(0)!=ker$ 
); ed anche questo ha dim=1 quindi $f$ non è diagonalizzabile.
per il calcolo ho sostituito il valore di k (1 e -1) in A (matr. associata ad $f$) ed eseguito $A*v_k=lambda_K*v_k$
ora procedo a trovare una rappresentazione diagonale, anche se credo che questo k mi porterà problemi...
per $K=1 -> V(0)={(gamma,gamma,gamma)|gamma in RR}$ ma non coincide con il ker (è normale
$V(0)!=ker$ ); ed anche questo ha dim=1 quindi $f$ non è diagonalizzabile.per il calcolo ho sostituito il valore di k (1 e -1) in A (matr. associata ad $f$) ed eseguito $A*v_k=lambda_K*v_k$
ora procedo a trovare una rappresentazione diagonale, anche se credo che questo k mi porterà problemi...
Per $k=1 $ e per $k=-1 $ la matrice non è diagonalizzabile, corretto.
bene
ho solo un ultimo problema che mi ostacola la diagonalizzazione: ho calcolato
$V(0)={(2gamma,0,gamma)|gamma in RR}$ (che dovrebbe essere = Ker ma non lo è; errore?)
$V(k+1)={(2gamma,-(k+1)gamma,gamma)|gamma in RR}$
$V(k-1)={(2gamma,-(k-1)gamma,gamma)|gamma in RR} $(spero sia giusto, per K-1 non ho ricontrollato i calcoli)
per compormi la matrice di passaggio $P$ (per poi diagonalizzare: $P^-1AP$) è corretto portarmi dietro il k?
cioè attualmente P sarebbe: $ ( ( 2 , 2 , 2 ),( 0 , -(k+1) , -(k-1) ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ $= ( ( 2 , 2 , 2 ),( 0 , -k-1 , -k+1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
mi puoi confermare se sono sulla strada giusta, prima che sviluppo tutti quei calcoli per diagonalizzarla (inversa di P, poi per A, poi per P
)
Grazie.
ho solo un ultimo problema che mi ostacola la diagonalizzazione: ho calcolato
$V(0)={(2gamma,0,gamma)|gamma in RR}$ (che dovrebbe essere = Ker ma non lo è;
errore?)$V(k+1)={(2gamma,-(k+1)gamma,gamma)|gamma in RR}$
$V(k-1)={(2gamma,-(k-1)gamma,gamma)|gamma in RR} $(spero sia giusto, per K-1 non ho ricontrollato i calcoli)
per compormi la matrice di passaggio $P$ (per poi diagonalizzare: $P^-1AP$) è corretto portarmi dietro il k?
cioè attualmente P sarebbe: $ ( ( 2 , 2 , 2 ),( 0 , -(k+1) , -(k-1) ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ $= ( ( 2 , 2 , 2 ),( 0 , -k-1 , -k+1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
mi puoi confermare se sono sulla strada giusta, prima che sviluppo tutti quei calcoli per diagonalizzarla (inversa di P, poi per A, poi per P
)Grazie.
Vediamo il procedimento :
per ognuno dei tre autovalori va trovato il corrispondente autospazio e poi per ciascun autospazio una base .
Poi la matrice $P $ avrà come colonne le tre basi .
per ognuno dei tre autovalori va trovato il corrispondente autospazio e poi per ciascun autospazio una base .
Poi la matrice $P $ avrà come colonne le tre basi .
"Camillo":
Vediamo il procedimento :
per ognuno dei tre autovalori va trovato il corrispondente autospazio e poi per ciascun autospazio una base .
Poi la matrice $P $ avrà come colonne le tre basi .
ed è quello che ho fatto:
$V(0)$, $V(k+1)$ e $V(k-1) $sono gli autospazi corrispondenti agli autovalori $0$, $K+1 $e $K-1$;
poi ho preso una base di ognuno (avendo dim 1 ho solo un vettore) ed ho considerato in tutti $gamma=1$
e li ho messi in colonna ottenendo la matrice P.
il problema è che mi rimane k.
dovrei diagonalizzare usando la matrice P così com'è?
"12Aquila":
attualmente P sarebbe: $ ( ( 2 , 2 , 2 ),( 0 , -(k+1) , -(k-1) ),( 1 , 1 , 1 ) ) $ $= ( ( 2 , 2 , 2 ),( 0 , -k-1 , -k+1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) $
se qualcosa non è chiara posso postare i passaggi che ho svolto..
Non mi tornano i tuoi risultati , anche se non li ho guardati in dettaglio.
Siamo nel caso $k ne +1; k ne -1 $ quindi 3 autovalori distinti.
Considero l'autovalore $lambda_3 =0 $ e cerco il relativo autospazio , ottenendo il sistema
$ -y+kz =0 $
$x+ky-2z=0 $
$-y+kz=0 $
che ha le soluzioni $x=(2-k^2)z ; y= kz; z=z $ .Il vettore soluzioni è quindi $((2-k^2)z,kz,z)$ e una base è $ ( (2-k^2),k,1 )$.
Analogamnete per l'autovalore $ lambda_2 = k-1 $ ottenendo il sistema
$(1-k)x-y+kz=0 $
$x+y-2z=0 $
$-y+z=0 $
etc etc
Siamo nel caso $k ne +1; k ne -1 $ quindi 3 autovalori distinti.
Considero l'autovalore $lambda_3 =0 $ e cerco il relativo autospazio , ottenendo il sistema
$ -y+kz =0 $
$x+ky-2z=0 $
$-y+kz=0 $
che ha le soluzioni $x=(2-k^2)z ; y= kz; z=z $ .Il vettore soluzioni è quindi $((2-k^2)z,kz,z)$ e una base è $ ( (2-k^2),k,1 )$.
Analogamnete per l'autovalore $ lambda_2 = k-1 $ ottenendo il sistema
$(1-k)x-y+kz=0 $
$x+y-2z=0 $
$-y+z=0 $
etc etc
sostituivo k erroneamente.ci siamo quasi, ho rifatto i calcoli come mi hai esposto e mi è risultato:
$V(0)=((2-k^2)z, kz, z)$
$V(k-1)=(y,y,y)$
$V(k+1)=(z, -z, 0)$ che sarebbe il vettore nullo
è corretto?in pratica ho sostituito l'autovalore in $(A-lambda I)=0$ e risolto il sistema costituito dalla matrice,
ma io di solito trovo gli autovettori dalla seguente equazione:
secondo questa equazione il secondo sistema che hai scritto dovrebbe essere così:
$ { ( (k-1)x-y+kz=(k-1)x),( x+y-2z=(k-1)y),( -y+z=(k-1)z):} $
ed anche il terzo, ma ovviamente non il primo perchè $lambda=0$
nell'attesa sto ricalcolando gli autovettori con quell'equazione.
edit:
non funziona: mi risulta come $V(k+1)$ cioè $(k+1)z=0->z=0$ e quindi essendo x e y dipendenti da z ottengo il vettore nullo.che confusione
...
$(z,-z,0)$ non è il vettore nullo che invece è $ ( 0,0,0) $.
La soluzione corretta però è $(z,-z,z)$.
Naturalemnte poi devi considerare per costruire la matrice $P $ una base dei tre spazi vettoriali .
Non mi è chiaro il sistema che scrivi...
La soluzione corretta però è $(z,-z,z)$.
Naturalemnte poi devi considerare per costruire la matrice $P $ una base dei tre spazi vettoriali .
Non mi è chiaro il sistema che scrivi...
ho rieffettuato i calcoli e il risultato è questo (come il tuo):
$lambda=0 -> ((-k^2+2)z, kz, z)$
$lambda=k+1 -> ((z, -z, z)$
$lambda=k-1 -> (z, z, z)$
ho provato a diagonalizzare:
$ P=( ( -k^2+2 , 1 , 1 ),( k , -1 , 1 ),( 1 , 1 ,1 ) ) $
$P'$ ovvero la matrice composta dai complementi algebrici di $P^T -> ( ( -2 , 0 , 0 ),( -k+1 , -k^2+1 , k^2+k-2 ),( k+1 , k^2-1 , k^2-3 ) ) $
tutto diviso il $det P = k^2-1$
... ho semplificato in $ ( ( -2/(k^2-1) , 0 , 2/(k^2-1) ),( 1/(k-1) , -1 , -k+2 ),( 1/(k-1) , 1 , 3 ) ) $
e moltiplicato per A = $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( -1 , -1, k^2+k-1 ),( 1 , -k+1 , 5k-3 ) ) $
e non mi resta che moltiplicarla per P e vedrò se il tutto è corretto...
$lambda=0 -> ((-k^2+2)z, kz, z)$
$lambda=k+1 -> ((z, -z, z)$
$lambda=k-1 -> (z, z, z)$
ho provato a diagonalizzare:
$ P=( ( -k^2+2 , 1 , 1 ),( k , -1 , 1 ),( 1 , 1 ,1 ) ) $
$P'$ ovvero la matrice composta dai complementi algebrici di $P^T -> ( ( -2 , 0 , 0 ),( -k+1 , -k^2+1 , k^2+k-2 ),( k+1 , k^2-1 , k^2-3 ) ) $
tutto diviso il $det P = k^2-1$
... ho semplificato in $ ( ( -2/(k^2-1) , 0 , 2/(k^2-1) ),( 1/(k-1) , -1 , -k+2 ),( 1/(k-1) , 1 , 3 ) ) $
e moltiplicato per A = $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( -1 , -1, k^2+k-1 ),( 1 , -k+1 , 5k-3 ) ) $
e non mi resta che moltiplicarla per P e vedrò se il tutto è corretto...
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