Esistenza e unicità di un endomorfismo. Parametro
Salve, sono nuovo del forum e avrei un problema con il seguente esercizio.
Si considerino in $ RR^(3) $ i vettori $ v1 = (1,1,1) $ , $ v2 = (1,1,0) $, $ v3 = (1,0,0) $, $ v4 = (1,0,1) $.
Si dica se per qualche valore del parametro $ t in RR $ esiste un endomorfismo $ f $ di $ RR^(3) $ che verifica le seguenti condizioni:
$ f(v1) = (1,4,-2) $
$ f(v2) = (2,4,-4) $
$ f(v3) = (2,0,-4) $
$ f(v4) = (t,t-1,-2) $
e se in corrispondenza a ciascuno di essi, ne esiste uno solo.
Ho provato a risolverlo in questo modo, ma non sono sicuro che sia la soluzione giusta.
Ho bisogno di trovare una base di $ RR^(3) $ in modo da applicare il Teorema di esistenza e unicità di una applicazione lineare, e quindi confermare che esiste ed è unico l'endomorfismo sopracitato.
Quindi inserisco i vettori $v1, v2, v3, v4 $ nelle righe di una matrice e trovo le varie dipendenze:
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) rarr cdots rarr ( ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Poichè $v1, v2, v3, v4 $ sono lin. dipendenti allora anche $f(v1), f(v2), f(v3), f(v4)$ sono lin. dipendenti, quindi inserisco anche le immagini nelle righe di una matrice e verifico per quali valori di $ t $ sono lin. dipendenti:
$ ( ( 1 , 4 , -2 ),( 2 , 4 , -4 ),( 2 , 0 , -4 ),( t , t-1 , -2 ) ) rarr cdots rarr ( ( 1 , 4 , -2 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , t-3 ) ) $
quindi i valori di $ t $ per cui $f(v1), f(v2), f(v3), f(v4)$ sono lin. dipendenti sono $ t - 3 = 0$ e $ t - 3 = 1 $ $ rarr $ $ t = 3 $ e $ t = 4 $.
Ora quello che mi risulta difficile è dimostrare l'unicità per ciascun valore trovato di $ t $.
Ringrazio vivamente per gli aiuti.
Si considerino in $ RR^(3) $ i vettori $ v1 = (1,1,1) $ , $ v2 = (1,1,0) $, $ v3 = (1,0,0) $, $ v4 = (1,0,1) $.
Si dica se per qualche valore del parametro $ t in RR $ esiste un endomorfismo $ f $ di $ RR^(3) $ che verifica le seguenti condizioni:
$ f(v1) = (1,4,-2) $
$ f(v2) = (2,4,-4) $
$ f(v3) = (2,0,-4) $
$ f(v4) = (t,t-1,-2) $
e se in corrispondenza a ciascuno di essi, ne esiste uno solo.
Ho provato a risolverlo in questo modo, ma non sono sicuro che sia la soluzione giusta.
Ho bisogno di trovare una base di $ RR^(3) $ in modo da applicare il Teorema di esistenza e unicità di una applicazione lineare, e quindi confermare che esiste ed è unico l'endomorfismo sopracitato.
Quindi inserisco i vettori $v1, v2, v3, v4 $ nelle righe di una matrice e trovo le varie dipendenze:
$ ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) rarr cdots rarr ( ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Poichè $v1, v2, v3, v4 $ sono lin. dipendenti allora anche $f(v1), f(v2), f(v3), f(v4)$ sono lin. dipendenti, quindi inserisco anche le immagini nelle righe di una matrice e verifico per quali valori di $ t $ sono lin. dipendenti:
$ ( ( 1 , 4 , -2 ),( 2 , 4 , -4 ),( 2 , 0 , -4 ),( t , t-1 , -2 ) ) rarr cdots rarr ( ( 1 , 4 , -2 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , t-3 ) ) $
quindi i valori di $ t $ per cui $f(v1), f(v2), f(v3), f(v4)$ sono lin. dipendenti sono $ t - 3 = 0$ e $ t - 3 = 1 $ $ rarr $ $ t = 3 $ e $ t = 4 $.
Ora quello che mi risulta difficile è dimostrare l'unicità per ciascun valore trovato di $ t $.
Ringrazio vivamente per gli aiuti.
Risposte
[mod="Martino"]Ciao, benvenuto nel forum.
Sposto in algebra lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
Sposto in algebra lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]
Benvenuto, dai vettori dati ti puoi ricavare una base di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]. 
Quanto hai fatto ti fornisce 2 valori candidati per la risoluzione dell'esercizio e nulla più.
Quanto hai fatto ti fornisce 2 valori candidati per la risoluzione dell'esercizio e nulla più.
Ok, ti ringrazio per la risposta, quindi deduco che il procedimento per trovare i valori di $ t $ sia esatto, ma l'esercizio richiede anche che si verifichi per ciascun valore di $ t $ se esistono uno o più endomorfismi e non ho la più pallida idea di come fare...
Grazie.
Grazie.
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