Dimensione Reale e Complessa Spazi Vettoriali
Salve, ho risolto un esercizio che richiede di determinare:
* $CC$-sottospazi intersezione e somma di due sottospazi vettoriali
* ed i $RR$-sottospazi di $CC_2[x]$ intersezione e somma
l'esercizio mi è stato corretto ed è risultato giusto nella prima parte ma errato nella seconda in quanto ho sbagliato la dimensione di uno dei sottospazi.
Io so che la dimensione di un sottospazio in $RR$ è doppia rispetto alla sua dimensione in $CC$, ma ho scoperto in questo esercizio non essere sempre vera,
prof mi ha spiegato che la dim raddoppia se il sottospazio è dato in modo definito, se è dato per generatori si deve verificare. (il mio problema è proprio questo)
esercizio:
dato $U={p(x) in CC_2[x] | p(i) = -p(-i)}$ ho determinato che $-> U={a_1x+a_2x^2 |a_1, a_2 in CC_2[x]}$ dim=2
dato $W=<1+x+x^2, x-x^2, 1+2x^2> -> W={a_0+a_1x+(-a_1+2a_0)x^2|a_0, a_1 in CC_2[x]}$ dim=2
poi ho trovato i $CC$-sottospazi intersezione e somma e quindi passo a determinarli in $RR$
ed è qui il problema: ad $U$ sostituisco $a_1=a+ib$, $a_2=c+id$ quindi $U={... | a,b,c,d in RR}$ quindi ha dim=4 (raddoppia OK)
e sostituendo a $W$ $a_0 = e+if, a_1=a+ib$ ottengo $W={...|e,f,a,b in RR}$ cha ha dimensione 4 ed invece la dimensione giusta è 3!
Non riesco proprio a capire come risolvere questo problema.
Grazie per qualsiasi Suggerimento!
* $CC$-sottospazi intersezione e somma di due sottospazi vettoriali
* ed i $RR$-sottospazi di $CC_2[x]$ intersezione e somma
l'esercizio mi è stato corretto ed è risultato giusto nella prima parte ma errato nella seconda in quanto ho sbagliato la dimensione di uno dei sottospazi.
Io so che la dimensione di un sottospazio in $RR$ è doppia rispetto alla sua dimensione in $CC$, ma ho scoperto in questo esercizio non essere sempre vera,
prof mi ha spiegato che la dim raddoppia se il sottospazio è dato in modo definito, se è dato per generatori si deve verificare. (il mio problema è proprio questo)
esercizio:
dato $U={p(x) in CC_2[x] | p(i) = -p(-i)}$ ho determinato che $-> U={a_1x+a_2x^2 |a_1, a_2 in CC_2[x]}$ dim=2
dato $W=<1+x+x^2, x-x^2, 1+2x^2> -> W={a_0+a_1x+(-a_1+2a_0)x^2|a_0, a_1 in CC_2[x]}$ dim=2
poi ho trovato i $CC$-sottospazi intersezione e somma e quindi passo a determinarli in $RR$
ed è qui il problema: ad $U$ sostituisco $a_1=a+ib$, $a_2=c+id$ quindi $U={... | a,b,c,d in RR}$ quindi ha dim=4 (raddoppia OK)
e sostituendo a $W$ $a_0 = e+if, a_1=a+ib$ ottengo $W={...|e,f,a,b in RR}$ cha ha dimensione 4 ed invece la dimensione giusta è 3!
Non riesco proprio a capire come risolvere questo problema.
Grazie per qualsiasi Suggerimento!
Risposte
Prova ad esplicitare tutti i passaggi!
in $CC_2[x]$ ho i seguenti sottospazi:
ora devo trovare i $RR$-sottospazi somma ed intersezione, cosa che solitamente mi riesce senza problemi ma in questo esercizio la dimensione di $W$ non raddoppia ma è 3 nel campo dei reali e non capisco perchè e provando a continuare come sempre ottengo erroneamente la dimensione 4. calcoli:
per prima cosa mi devo determinare i sottospazi nel campo dei reali e per fare ciò sostituisco la rappresentazione del numero complesso $z=x+iy$ parte reale + immaginaria:
$a_1=a+ib$, $a_2=c+id$ -> $U={(a+ib)x+(c+id)x^2 |a,b,c,d in RR}$ quindi dim=4 OK
$a_0=e+if$, $a_1=t+iy$ -> $W={(e+if)+(t+iy)x+[ -(t+iy)+2(e+if)]x^2|e,f,t,y in RR}$ e la dimensione è 4 non 3 ($<-$ ci dev'essere un errore in questo rigo che devo capire 
)
poi da qui devo calcolare il sottospazio intersezione e somma; ma il problema è che non capisco come W possa avere dimensione 3.
domani ci rifletto ancora un pò su, grazie per aver risposto.
"12Aquila":
$U={a_1x+a_2x^2 |a_1, a_2 in CC_2[x]}$ dim=2
$W={a_0+a_1x+(-a_1+2a_0)x^2|a_0, a_1 in CC_2[x]}$ dim=2
ora devo trovare i $RR$-sottospazi somma ed intersezione, cosa che solitamente mi riesce senza problemi ma in questo esercizio la dimensione di $W$ non raddoppia ma è 3 nel campo dei reali e non capisco perchè e provando a continuare come sempre ottengo erroneamente la dimensione 4. calcoli:
per prima cosa mi devo determinare i sottospazi nel campo dei reali e per fare ciò sostituisco la rappresentazione del numero complesso $z=x+iy$ parte reale + immaginaria:
$a_1=a+ib$, $a_2=c+id$ -> $U={(a+ib)x+(c+id)x^2 |a,b,c,d in RR}$ quindi dim=4 OK
$a_0=e+if$, $a_1=t+iy$ -> $W={(e+if)+(t+iy)x+[ -(t+iy)+2(e+if)]x^2|e,f,t,y in RR}$ e la dimensione è 4
non 3 ($<-$ ci dev'essere un errore in questo rigo che devo capire )poi da qui devo calcolare il sottospazio intersezione e somma; ma il problema è che non capisco come W possa avere dimensione 3.
domani ci rifletto ancora un pò su, grazie per aver risposto.
Attenzione che i coefficienti sono numeri reali e non polinomi a coefficienti complessi. 
Neanch'io riesco a vedere un qualche errore.
Neanch'io riesco a vedere un qualche errore.
"j18eos":
Attenzione che i coefficienti sono numeri reali e non polinomi a coefficienti complessi.
ma ho sempre risolto gli esercizi effettuando questa sostituzione e dovrebbe essere corretto...
"j18eos":
Neanch'io riesco a vedere un qualche errore.
bhè non mi resta che chiedere spiegazioni all prof per email.
Grazie per l'interessamento. Ciao
Ti riporto la scrittura corretta: [tex]$W=\{\dots\mid e;f;t;y\in\mathbb{R}\}$[/tex]!
Prego, di nulla!
Prego, di nulla!
"j18eos":
Ti riporto la scrittura corretta: [tex]$W=\{\dots\mid e;f;t;y\in\mathbb{R}\}$[/tex]!
si in effetti è così, ma l'ordine non cambia niente.
Io non parlo dell'ordine ma dell'insieme in cui variano. 
Leggi bene e modifica.
Leggi bene e modifica.
ah si! 
ieri nella fretta mi è sfuggito.
infatti il primo post è corretto.
vado subito ad aggiustarlo
ieri nella fretta mi è sfuggito.infatti il primo post è corretto.
vado subito ad aggiustarlo
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