Prodotto tra matrici
Avrei una curiosità: dato che la somma tra due matrici (di uguali dimensioni) è definita come la matrice che ha per elementi la somma degli elementi delle medesime posizioni, il che è abbstanza natura, perchè il prodotto tra matrici è definito come la somma dei prodotti tra gli elementi di una colonna di una matrice e gli elementi di una riga dell'altra matrice, e non come il prodotto tra gli elementi in rispettive posizioni? C'è una motivazione teorica a questo? Grazie a chi mi saprà rispondere!
Risposte
Sì, c'è. Il prodotto di Cauchy è l'unico modo di rendere la mappa di moltiplicazione \(M_{pq}(K) \times M_{qr}(K) \to M_{pr}(K)\) una applicazione bilineare di spazi vettoriali; le matrici \(p\times q\) a ingressi in un campo \(K\) si identificano naturalmente all'insieme delle funzioni \(M :
\times [q] \to K\), dove con \(
\) intendo l'insieme \(\{1,\dots,p\}\).
Allora, il prodotto di matrici tra \(M :
\times [q] \to K\) e \(N : [q]\times [r]\to K\), comunque sia definito, deve essere tale che \[(M+M')N= MN + M'N\] e \[M(N+N')=MN + MN',\] e \[(aM)N=a(MN)=M(aN)\] per ogni \(a\in K\).
Grazie per le risorse!
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