Sottogruppo normale e sottogruppo generato dagli stessi generatori

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Sia \( G \) un gruppo e \( g_i, i \in I \) un insieme di elementi di \(G \). Consideriamo \( H = \left< g_i, i \in I \right> \) il sottogruppo generato dai \( g_i \) e \( N = \lhd g_i, i \in I \rhd \) il sotto gruppo normale generato dai \( g_i \).
Dimostra che \( H \) è sotto gruppo di \( N \) ma in generale \( H \neq N \).

Non riesco a capire come possa essere che \( H \neq N \). In generale dire che ogni elemento di \(h \in H \) può essere scritto come \(h = \prod_{k=1}^{n} g_k^{a_k} \) per \( a_k \in \mathbb{Z} \) e idem per \( n \in N \)... dunque come possono essere differenti?

[solaàl]

Beh, è sufficiente prendere un sottogruppo non normale di gruppo, e dei suoi generatori; $H$ è quel sottogruppo, ed $N$ è la chiusura normale, che è più grande. Da un lato, intersechi su tutti i sottogruppi che contengono gli elementi, dall'altro, solo su quelli normali, quindi il risultato dell'intersezione (che è un'operazione controvariante) è piu grande.

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Quindi non tutti gli elementi di \( N \) si scrivono come parole composte esclusivamente dai \( g_i \) ?

[solaàl]

Dipende; se quegli elementi generano un sottogruppo che non è normale, mi sa di no.