Comprendendo alcuni termini di topologia...

[kaspar1]

Ciao

Ci sono dei termini di topologia che non so se ho capito bene per come sono stati definiti su Topologia di Manetti, 2ed.

"Marco Manetti a pagina 93":Definizione 5.1. Un'applicazione continua e surgettiva \(f : X \to Y\) si dice identificazione se gli aperti di \(Y\) sono tutti e soli i sottoinsiemi \(A \subset Y\) tali che \(f^{-1}(A)\) aperto in \(X\).

Come me lo sono rappresentato è

Una funzione continua e suriettiva \(f : X \to Y\) si dice identificazione quando per ogni insieme \(A \subset Y\)
\[A \text{ aperto di } Y \iff f^{-1}A \text{ aperto di } X\quad.\]

L'implicazione \(\implies\) è però la ripetizione della continuità di \(f\), perciò mi risulta un po' rindondante, e penso di ridurla a

Una funzione continua e suriettiva \(f : X \to Y\) si dice identificazione quando per ogni insieme \(A \subset Y\)
\[f^{-1}A \text{ aperto di } X \implies A \text{ aperto di } Y \quad.\]

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"Marco Manetti a pagina 59":Definzione 3.57 Un'applicazione continua e iniettiva \(f : X \to Y\) si dice immersione (topologica) se gli aperti di \(X\) sono tutti e soli i sottoinsiemi del tipo \(f^{-1}(A)\) al variare di \(A\) tra gli aperti di \(Y\).

Io in questo caso me lo rappresento in questo modo

Una funzione continua e iniettiva \(f : X \to Y\) si dice immersione quando per ogni insieme \(U \subset X\)
\[U \text{ aperto di } X \iff \exists A \subset Y \text{ aperto} : U = f^{-1}A \quad.\]

Di nuovo in questo caso l'implicazione \(\Longleftarrow\) mi sembra derivare direttamente dalla continuità: infatti, per continuità, se \(A \subset Y\) è uno degli aperti per cui \(f^{-1}A = U\), allora quest'ultimo è aperto. Quindi mi verrebbe da dire che la definizione precedente si riduce a

Una funzione continua e iniettiva \(f : X \to Y\) si dice immersione quando per ogni insieme \(U \subset X\) si ha
\[U \text{ aperto di } X \implies \exists A \subset Y \text{ aperto} : U = f^{-1}A \quad.\]

Vanno bene le idee che mi sono fatto?

È che mi serve aver chiaro bene questi termini: vorrei prendere come abitudine di provare a dimostrare i teoremi prima da me, prima di consultare la dimostrazione proposta dagli autori. E se non ho chiari i significati delle parole non riuscirei nemmeno a capire ciò che dice l'enunciato...

[j18eos]

In effetti, una "punta della freccia" si potrebbe omettere, ma poi (almeno a me che sono abituato) suonerebbe "strano"...

[kaspar1]

Ma il forum è esploso o cosa? È da tre/quattro giorni che non non funziona niente.

Sì, in effetti mi sembra che la parola "identificazione" viene abbandonata presto in favore del termine "mappa quoziente". Mi serviva capire un po' di cose per qualche teorema. Grazie,