Operatore lineare idempotente

[simona111291]

Ciao,

penso sia stupidissimo ma non riesco a concludere.. Devo dimostrare che se $T:R^n -> R^n$ è idempotente con rango dell'immagine $r$.. allora $T(v_i) = v_i$.. dove ${v_1 , ..., v_r}$ è base dell'immagine..

Ho provato a fare quello scritto in foto ma non so concludere.. ${u_1, ..., u_(n-r)}$ è la base del Ker.

sembrerebbe semplice dire che se $T(T(v_i)) = T(v_i)$ allora $T(v_i)=v_i$ ma per dire ciò non devo passare componendo per $T^(-1)$? e una matrice idempotente non è invertibile, a meno che non sia l'identità...

Avete qualche suggerimento?
Grazie

[simona111291]

Forse ci sono arrivata..
allora so che $T^2 (v_i) = T(v_i)$, allora $T^2 (v_i) - T(v_i) = 0$.. quindi $T(T(v_i)-v_i) = 0$.. Ma T operatore lineare porta lo 0 dello spazio di partenza in quello di arrivo.. quindi $T(v_i)-v_i = 0$.. quindi $T(v_i)=v_i$

Però non ho capito perchè vale solo per gli elementi della base dell'immagine.

[marco2132k]

Scusa, ma se \( T^2 = T \), preso un vettore \( v \) dell'immagine sarà \( v = T(v_0) \) per qualche \( v_0 \) dello spazio, ergo
\[
\begin{aligned}
T(v) &= T(T(v_0))\\
&= T(v_0)\\
&= v
\end{aligned}
\] (No?)

[simona111291]

sì.... grazie.. Ho proprio dimenticato tutto.

Ti ringrazio

[simona111291]

Grazie mille, molto utile anche questo.

[dissonance]

Sergio, ma non ho capito solo una cosa, per fare il discorso che fai non dovresti avere dimostrato che \(T\) è diagonalizzabile? Altrimenti potrebbero esserci dei vettori che non sono combinazione lineare di autovettori, e quindi il ragionamento che proponi non si può applicare ad essi.

[dissonance]

Ok adesso mi ritrovo.