Omeomorfismo su $ZZ$
Ciao a tutti, mi ritrovo col seguente esercizio.
Il testo enuncia:
Ho pensato subito alla funzione $f: X \rightarrow Y$ definita da $f(x)=1/x$ e $f(0)=0$. Solo che ora ho difficoltà a dimostrare che questa funzione è effettivamente un omeomorfismo (se lo è). Per dimostrarne la continuità definisco le basi formate dai singoletti? O consigliereste altro, come funzioni o procedimenti?
Grazie mille in anticipo per l’aiuto
Il testo enuncia:
Sia $X=ZZ$ dotato della topologia $\tau$$= {A \subset X | 0∉A $ oppure $X \backslash A $ è finito $}$ e
$Y = {0} \cup { 1/k \in RR | k \in ZZ\backslash {0}}$ dotato della topologia indotta da quella euclidea.
Provare che $X$ e $Y$ sono omeomorfi
Ho pensato subito alla funzione $f: X \rightarrow Y$ definita da $f(x)=1/x$ e $f(0)=0$. Solo che ora ho difficoltà a dimostrare che questa funzione è effettivamente un omeomorfismo (se lo è). Per dimostrarne la continuità definisco le basi formate dai singoletti? O consigliereste altro, come funzioni o procedimenti?
Grazie mille in anticipo per l’aiuto
Risposte
Io prenderei un generico aperto di $Y$ distinguendo solo il caso in cui l'aperto contiene lo zero dal caso in cui non lo contiene... prova a caratterizzare le preimmagini tenendo presente che tramite quella funzione $f(k)=\dfrac{1}{k}$ e gli aperti di $Y$ che non contengono lo zero sono costituiti da un numero finito di punti, mentre quelli che lo contengono no, essendo lo zero punto di accumulazione...
Ciao @Pierlu11. Innanzitutto grazie mille. Ho provato a lavorarci seguendo il tuo consiglio. Ma non sono molto sicuro in quanto mi sembra poco rigoroso quello che ho tirato fuori. Questo è quello che ho fatto:
Sia $B$ un aperto di $Y$ non contenente $0$. Essendo che $f^-1(0)$ è $0$ per come è stata definita $f$, la preimmagine di tale aperto in $X$ non conterrà $0$. Quindi è un aperto di $\tau$. E su questa casistica non ho molti dubbi.
Mentre, sia ora $A$ aperto di $Y$ contenente $0$. Il mio problema è giustificare la finitezza del complementare della preimmagine di tale aperto.
Partirei dal dire che $\text{supA}$ e $text{infA}$ sono discordi perché $0$ punto di accumulazione e $Y$ è dotato della topologia indotta da quella euclidea. Quindi se $f(x)\inA$, in particolare preso $y in X\backslash f^-1(A) $ si ha $y\in{(1/text{infA} , 1/text{supA}) cap ZZ}$. Ed essendo intervallo limitato in $ZZ$, segue che la sua cardinalitá è finita. Quindi appartiene a $\tau$.
Puó essere sensato? O consigliereste ragionamenti differenti? Grazie mille in anticipo
Sia $B$ un aperto di $Y$ non contenente $0$. Essendo che $f^-1(0)$ è $0$ per come è stata definita $f$, la preimmagine di tale aperto in $X$ non conterrà $0$. Quindi è un aperto di $\tau$. E su questa casistica non ho molti dubbi.
Mentre, sia ora $A$ aperto di $Y$ contenente $0$. Il mio problema è giustificare la finitezza del complementare della preimmagine di tale aperto.
Partirei dal dire che $\text{supA}$ e $text{infA}$ sono discordi perché $0$ punto di accumulazione e $Y$ è dotato della topologia indotta da quella euclidea. Quindi se $f(x)\inA$, in particolare preso $y in X\backslash f^-1(A) $ si ha $y\in{(1/text{infA} , 1/text{supA}) cap ZZ}$. Ed essendo intervallo limitato in $ZZ$, segue che la sua cardinalitá è finita. Quindi appartiene a $\tau$.
Puó essere sensato? O consigliereste ragionamenti differenti? Grazie mille in anticipo
Secondo me conviene far più affidamento alla funzione che hai definito.
Se prendi un insieme $Y$ contenente $0$ vuol dire che esso è costituito $0$ e da numeri del tipo $-\epsilon<\frac{1}{k}<\epsilon$ (funziona anche se l'intorno non è circolare). Dunque la sua preimmagine è l'unione di due insiemi contenenti rispettivamente $k<-\frac{1}{\epsilon}$ e $k>\frac{1}{\epsilon}$ e l'insieme contenete $0$. Il complementare della preimmagine è ovviamente finito perchè limitato.
Se prendi un insieme $Y$ contenente $0$ vuol dire che esso è costituito $0$ e da numeri del tipo $-\epsilon<\frac{1}{k}<\epsilon$ (funziona anche se l'intorno non è circolare). Dunque la sua preimmagine è l'unione di due insiemi contenenti rispettivamente $k<-\frac{1}{\epsilon}$ e $k>\frac{1}{\epsilon}$ e l'insieme contenete $0$. Il complementare della preimmagine è ovviamente finito perchè limitato.
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