Cilindro di iperbole
Considerata la superficie $xy-1=0$ si chiede se è connessa.
La si può pensare parametrizzata così $x: R^2-(0,0)\timesR^2\toR^3$ che mappa $(u,v)\to(u,1/u,v)$
La soluzione afferma che la superficie non è connessa perchè x è un omeomorfismo.
Ma non capisco. Proprio perchè è omemorfismo e il dominio è connesso allora l'immagine dovrebbe essere connessa. Anche vedendo il grafico sembra palesemente connessa.
Potete aiutarmi? mi sembra strano che ci sia un errore del genere
La si può pensare parametrizzata così $x: R^2-(0,0)\timesR^2\toR^3$ che mappa $(u,v)\to(u,1/u,v)$
La soluzione afferma che la superficie non è connessa perchè x è un omeomorfismo.
Ma non capisco. Proprio perchè è omemorfismo e il dominio è connesso allora l'immagine dovrebbe essere connessa. Anche vedendo il grafico sembra palesemente connessa.
Potete aiutarmi? mi sembra strano che ci sia un errore del genere
Risposte
La superficie S che ti interessa ha due componenti connesse, perché è \(H\times\mathbb R\), dove \(H\) è una iperbole; più formalmente, per ogni \(a\in \mathbb R\) la sezione lungo l'asse \(\hat z\) ad altezza \(a\) è omeomorfa a \(\{(x,y)\mid xy=1\}\), che è la solita iperbole a due rami 
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ok grazie, ma analiticamente dov'era l'errore? La parametrizzazione non è un omeomorfismo a dominio connesso?
il grafico che vedevo io è questo e non capisco se sia sbagliato o se causa qualche illusione ottica. (però mi sono convinto che il tuo è corretto)
il grafico che vedevo io è questo e non capisco se sia sbagliato o se causa qualche illusione ottica. (però mi sono convinto che il tuo è corretto)
Galager, ti sei accorto di aver scritto male il dominio della parametrizzazione?
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