Diagramma di un'applicazione lineare commuta
Buongiorno, leggendo gli appunti della mia prof. riguardante le applicazioni lineari viene detto che il diagramma commuta se l'applicazione è lineare.
Cosa vuol dire che il diagramma commuta? mi sono dato una risposta la quale vi riporto, ma vorrei un parere anche vostro.
Per essere più chiari vi riporto in primo luogo la definizione di applicazione lineare.
Definizione:
Siano $V, W$ spazi vettoriali su $KK$ considero l'applicazione $f:V to W$ dicasi applicazione lineare se
1) $f(u+v)=f(u)+f(w)$ per ogni $u, v in V,$
2) $f(au)=af(u)$ per ogni $u in V$, $a in K.$
Analizzando profondamente la 1) ottengo la seguente analisi:
Per ipotesi $V$ è uno spazio vettoriale quindi, una struttura algebrica con due operazioni di cui, una interna detta somma ed, un'altra esterna detta prodotto in particolare, per la somma si ha:
similmente alla somma in $V$, si ha in $W$
Supponendo che $f$ sia lineare si ha $f(u+v)=f(u)+f(v)$ oltre
la lettera $a$ sta per $alpha.$
Qualcosa del genere ?
Cosa vuol dire che il diagramma commuta? mi sono dato una risposta la quale vi riporto, ma vorrei un parere anche vostro.
Per essere più chiari vi riporto in primo luogo la definizione di applicazione lineare.
Definizione:
Siano $V, W$ spazi vettoriali su $KK$ considero l'applicazione $f:V to W$ dicasi applicazione lineare se
1) $f(u+v)=f(u)+f(w)$ per ogni $u, v in V,$
2) $f(au)=af(u)$ per ogni $u in V$, $a in K.$
Analizzando profondamente la 1) ottengo la seguente analisi:
Per ipotesi $V$ è uno spazio vettoriale quindi, una struttura algebrica con due operazioni di cui, una interna detta somma ed, un'altra esterna detta prodotto in particolare, per la somma si ha:
$+ : (u,v) in V times V to u+v in V$
quindi, per definizione di applicazione $f$ valuta $f(u+v) in W$ dopodiché, devo valutare l'operazione $alpha$ ponendo $alpha:(u,v) in VtimesV to (f(u),f(v)) in WtimesW$
similmente alla somma in $V$, si ha in $W$
$+ : (f(u),f(v)) in W times W to f(u)+f(v) in W.$
Supponendo che $f$ sia lineare si ha $f(u+v)=f(u)+f(v)$ oltre
la lettera $a$ sta per $alpha.$
Qualcosa del genere ?
Risposte
"Pasquale 90":
Buongiorno, leggendo gli appunti della mia prof. riguardante le applicazioni lineari viene detto che il diagramma commuta se l'applicazione è lineare.
Cosa vuol dire che il diagramma commuta?
Supponi di avere 4 insiemi $A,B,C,D$ e 4 funzioni $a:A \to B$, $b:B\to D$, $a_1:A\to C$ e $b_1:C\to D$. Il diagramma commuta quando $b\circ a=b_1\circ a_1$.
[ot]Oof. Questa faceva malissimo.
Prima cosa: sei conscio che qui si possono disegnare diagrammi commutativi abbastanza semplici, vero?
\[
\begin{CD}
X @>>> Y \\
@VVV @VVV \\
Z @>>> W
\end{CD}
\]
Seconda cosa: "il diagramma commuta se l'applicazione è lineare." diagramma quale? Ne esiste solo uno? applicazione, quale? Ne esiste solo una?
Terza cosa:
Una sola \(K\) è sufficiente; ma il problema maggiore è che nella frase non azzeccano i verbi (e ci sono errori di ortografia un po' ovunque: fastidioso, lascia quasi pensare tu non sappia esprimerti in italiano). Questo rende più facile interpretare una tavoletta sumera, che le tue domande.
Quarta cosa:
Quinta cosa:[/ot] Forse (?) quello che vuoi dimostrare è che uno spazio vettoriale è un modulo sul campo $K$, guardato come anello? In questo caso, i diagrammi che devono commutare si possono estrarre a partire dalla definizione equazionale delle proprietà che la somma di vettori e la moltiplicazione per uno scalare devono soddisfare: la somma è un'operazione binaria \(+ : V\times V \to V\); la moltiplicazione per uno scalare è un omomorfismo di anelli \(K \to \hom_{\mathbb Z}(V,V)\) (a codominio ci sono gli omomorfismi di gruppi abeliani di \(V\) in se stesso), che si traspone a una azione \(a : K\times V \to V\); prese insieme, queste due operazioni devono soddisfare certi assiomi:
1. \((V,+,0)\) è un gruppo abeliano; questi diagrammi sono tanti e noiosi da scrivere (\(V\) deve essere un monoide, in più un gruppo, in più essere commutativo...); ti rimando a Awodey, alle pagine 80 e 81.
2. \((V,a)\) è un modulo sull'anello \(K\): questo significa che
\[
\begin{CD}
K\times K \times V @>\cdot\times V>> K \times V \\
@VK\times a VV @VVaV \\
K\times V @>a>> V
\end{CD}
\quad
\begin{CD}
V @>1_K\times V>> K\times V \\
@| @VVaV\\
V @= V
\end{CD}
\] sono entrambi diagrammi commutativi; il primo esprime una delle due proprietà per cui l'azione sia veramente un'azione:
\[k(k'v)=(kk')v\] il secondo esprime la proprietà per cui moltiplicare per lo scalare 1 sia uguale all'identità; manca la richiesta che questa azione rispetti la struttura di gruppo abeliano, ossia \(k(v+w)=kv+kw\) e \((k+k')v=kv+k'v\) per ogni $k,k'\in K, v,w\in V$: ti lascio dimostrare che un'azione di $K$ su $V$ equivale precisamente alla richiesta che esista un omomorfismo di anelli \(K \to \hom_{\mathbb Z}(V,V)\). Tra l'altro, per puro caso, qualcuno ha chiesto proprio stamattina perché \(\hom_{\mathbb Z}(V,V)\) è un anello quando \(V\) è un gruppo abeliano.
Prima cosa: sei conscio che qui si possono disegnare diagrammi commutativi abbastanza semplici, vero?
\[
\begin{CD}
X @>>> Y \\
@VVV @VVV \\
Z @>>> W
\end{CD}
\]
\begin{CD}
X @>>> Y \\
@VVV @VVV \\
Z @>>> W
\end{CD}Seconda cosa: "il diagramma commuta se l'applicazione è lineare."
Terza cosa:
Siano $V, W$ spazi vettoriali su $KK$ considero l'applicazione $f:V to W$ dicasi applicazione lineare se
Una sola \(K\) è sufficiente; ma il problema maggiore è che nella frase non azzeccano i verbi (e ci sono errori di ortografia un po' ovunque: fastidioso, lascia quasi pensare tu non sappia esprimerti in italiano). Questo rende più facile interpretare una tavoletta sumera, che le tue domande.
Quarta cosa:
dopodiché, devo valutare l'operazione $alpha$Chi è \(\alpha\) e perché questo imperativo categorico? Se non la valuti stiamo bene uguale.
Quinta cosa:[/ot] Forse (?) quello che vuoi dimostrare è che uno spazio vettoriale è un modulo sul campo $K$, guardato come anello? In questo caso, i diagrammi che devono commutare si possono estrarre a partire dalla definizione equazionale delle proprietà che la somma di vettori e la moltiplicazione per uno scalare devono soddisfare: la somma è un'operazione binaria \(+ : V\times V \to V\); la moltiplicazione per uno scalare è un omomorfismo di anelli \(K \to \hom_{\mathbb Z}(V,V)\) (a codominio ci sono gli omomorfismi di gruppi abeliani di \(V\) in se stesso), che si traspone a una azione \(a : K\times V \to V\); prese insieme, queste due operazioni devono soddisfare certi assiomi:
1. \((V,+,0)\) è un gruppo abeliano; questi diagrammi sono tanti e noiosi da scrivere (\(V\) deve essere un monoide, in più un gruppo, in più essere commutativo...); ti rimando a Awodey, alle pagine 80 e 81.
2. \((V,a)\) è un modulo sull'anello \(K\): questo significa che
\[
\begin{CD}
K\times K \times V @>\cdot\times V>> K \times V \\
@VK\times a VV @VVaV \\
K\times V @>a>> V
\end{CD}
\quad
\begin{CD}
V @>1_K\times V>> K\times V \\
@| @VVaV\\
V @= V
\end{CD}
\] sono entrambi diagrammi commutativi; il primo esprime una delle due proprietà per cui l'azione sia veramente un'azione:
\[k(k'v)=(kk')v\] il secondo esprime la proprietà per cui moltiplicare per lo scalare 1 sia uguale all'identità; manca la richiesta che questa azione rispetti la struttura di gruppo abeliano, ossia \(k(v+w)=kv+kw\) e \((k+k')v=kv+k'v\) per ogni $k,k'\in K, v,w\in V$: ti lascio dimostrare che un'azione di $K$ su $V$ equivale precisamente alla richiesta che esista un omomorfismo di anelli \(K \to \hom_{\mathbb Z}(V,V)\). Tra l'altro, per puro caso, qualcuno ha chiesto proprio stamattina perché \(\hom_{\mathbb Z}(V,V)\) è un anello quando \(V\) è un gruppo abeliano.
solaàl, ti chiedo cortesemente di non commentare i miei messaggi.
Grazie.
Grazie.
Ciao hydro, ti ringrazio per avermi risposto.
Nel messaggio iniziale forse sono stato poco chiaro, la mia discussione riguardante alla condizione 1), segue dall'osservazione fatta dalla mia prof. in altre parole ho riscritto quello che ha scritto lei sulle slide ma commentatolo inoltre, $alpha$ lei la chiama $f times f $ e, il disegnino lei l'ha fatto a penna e io con paint
Quindi la mia interpretazione, fatta sull'osservazione della mia prof., può andare bene ?
Nel messaggio iniziale forse sono stato poco chiaro, la mia discussione riguardante alla condizione 1), segue dall'osservazione fatta dalla mia prof. in altre parole ho riscritto quello che ha scritto lei sulle slide ma commentatolo inoltre, $alpha$ lei la chiama $f times f $ e, il disegnino lei l'ha fatto a penna e io con paint
Quindi la mia interpretazione, fatta sull'osservazione della mia prof., può andare bene ?
"Pasquale 90":Ci sono materiali impermeabili all'acqua: non li impregna nemmeno dopo 291 piogge.
solaàl, ti chiedo cortesemente di non commentare i miei messaggi.
Grazie.
Come detto in un mio vecchio topic, i modi in cui ti poni sono al dir poco ridicoli e patetici inoltre, mi viene da pensare che non hai altro di meglio da fare il giorno se non intervenire fastidiosamente nei topic degli utenti che chiedono consiglio.
Io spero vivamente che qualche moderatore prenda in considerazione questo tuo modo di porti nei confronti delle persone che chiedono "umilmente" chiarimenti.
Dopo questa mia osservazione non perderò più tempo a commentare i tuoi messaggi.
Io spero vivamente che qualche moderatore prenda in considerazione questo tuo modo di porti nei confronti delle persone che chiedono "umilmente" chiarimenti.
Dopo questa mia osservazione non perderò più tempo a commentare i tuoi messaggi.
"Pasquale 90":
Ciao hydro, ti ringrazio per avermi risposto.
Nel messaggio iniziale forse sono stato poco chiaro, la mia discussione riguardante alla condizione 1), segue dall'osservazione fatta dalla mia prof. in altre parole ho riscritto quello che ha scritto lei sulle slide ma commentatolo inoltre, $alpha$ lei la chiama $f times f $ e, il disegnino lei l'ha fatto a penna e io con paint
Quindi la mia interpretazione, fatta sull'osservazione della mia prof., può andare bene ?
Hai chiesto cosa vuol dire che un diagramma commuta, e io ti ho risposto. Applica la mia definizione alla tua situazione e ti rispondi, non c'è bisogno di farla tanto lunga. Hai 4 mappe, le devi comporre a coppie in quel verso e le due composizioni devono essere uguali. Stop.
Poi mi permetto di darti un consiglio: scrivere le domande in modo comprensibile, oltre ad aumentare in maniera sensibile le probabilità di ottenere una risposta utile, serve in primis a te, perchè facendolo ti si chiarirà cosa non capisci. Da come scrivi tu emerge solo una grande confusione, come se anche tu non fossi sicuro di quale sia il tuo dubbio. E' una cosa normale, succede a tutti all'inizio, ma devi assolutamente cercare di superarla, altrimenti fare domande non ti serve a nulla. Le domande devono essere ben circostanziate affinchè le risposte siano utili.
Grazie hydro per il suggerimento, comunque alla fine mi sono ricordato che le lezioni sono anche registrate su stream, ho trovato la lezione ed ho chiarito tutto 
Comunque grazie.
Comunque grazie.
"Pasquale 90":Ti sei accorto che alla tua domanda ho anche risposto, vero? Certo, mentre ti rispondevo ti ho coglionato, e il motivo mi pare ovvio:
Come detto in un mio vecchio topic, i modi in cui ti poni sono al dir poco ridicoli e patetici inoltre, mi viene da pensare che non hai altro di meglio da fare il giorno se non intervenire fastidiosamente nei topic degli utenti che chiedono consiglio.
scrivere le domande in modo comprensibile, oltre ad aumentare in maniera sensibile le probabilità di ottenere una risposta utile, serve in primis a te, perchè facendolo ti si chiarirà cosa non capisci. Da come scrivi tu emerge solo una grande confusione, come se anche tu non fossi sicuro di quale sia il tuo dubbio. E' una cosa normale, succede a tutti all'inizio, ma devi assolutamente cercare di superarla, altrimenti fare domande non ti serve a nulla. Le domande devono essere ben circostanziate affinchè le risposte siano utili.io ti ho detto la stessa identica cosa. solo non con le buone maniere.
Ora, veniamo a cose serie.
Qual è per te la definizione di "diagramma" e di "diagramma che commuta"? Perché dopo 14 anni ne ho trovate almeno 4 diverse, e nessuna è veramente soddisfacente.
"hydro":
Supponi di avere 4 insiemi $A,B,C,D$ e 4 funzioni $a:A \to B$, $b:B\to D$, $a_1:A\to C$ e $b_1:C\to D$. Il diagramma commuta quando $b\circ a=b_1\circ a_1$.
Qual è per te la definizione di "diagramma" e di "diagramma che commuta"? Perché dopo 14 anni ne ho trovate almeno 4 diverse, e nessuna è veramente soddisfacente.
"solaàl":
Ora, veniamo a cose serie.
[quote="hydro"] Supponi di avere 4 insiemi $A,B,C,D$ e 4 funzioni $a:A \to B$, $b:B\to D$, $a_1:A\to C$ e $b_1:C\to D$. Il diagramma commuta quando $b\circ a=b_1\circ a_1$.
Qual è per te la definizione di "diagramma" e di "diagramma che commuta"? Perché dopo 14 anni ne ho trovate almeno 4 diverse, e nessuna è veramente soddisfacente.[/quote]
Guarda sinceramente non me lo sono mai chiesto perchè non ho mai avuto la necessità di farlo nel mio lavoro... Ho sempre usato solo "working definitions". Ma tipo nLab cosa ne pensa?
[ot]
Le solite cose.
Se ti va, (magari altrove) puoi approfondire questa cosa. Altrimenti potresti suggerire qualche cosa da consultare.[/ot]
"hydro":
Ho sempre usato solo "working definitions". Ma tipo nLab cosa ne pensa?
Le solite cose.
"solaàl":
Ora, veniamo a cose serie. [...] Qual è per te la definizione di "diagramma" e di "diagramma che commuta"? Perché dopo 14 anni ne ho trovate almeno 4 diverse, e nessuna è veramente soddisfacente.
Se ti va, (magari altrove) puoi approfondire questa cosa. Altrimenti potresti suggerire qualche cosa da consultare.[/ot]
[xdom="gugo82"]
Detto molto francamente, sei già stato sullo stesso clivio e sei rovinato giù.
Sai cosa si dice di persone che reiterano lo stesso comportamento sperando sempre in un esito diverso?[/xdom]
"solaàl":
io ti ho detto la stessa identica cosa. solo non con le buone maniere.
Detto molto francamente, sei già stato sullo stesso clivio e sei rovinato giù.
Sai cosa si dice di persone che reiterano lo stesso comportamento sperando sempre in un esito diverso?[/xdom]
"kaspar":
Se ti va, (magari altrove) puoi approfondire questa cosa. Altrimenti potresti suggerire qualche cosa da consultare.
Uno può dire che un "diagramma" "commuta" quando ha definito "diagramma": è facile, un diagramma è un funtore \(F : J \to C\). Ora, "commutare" significa, a seconda dei contesti, che
1. ogni coppia di path in \(C\) tra morfismi che stanno nell'immagine di F è fatta da elementi uguali.
2. F fattorizza lungo una categoria "sottile" (thin?), dove cioè tra due oggetti dati c'è al piu un morfismo.
E' evidente come queste due definizioni sono equivalenti in qualche senso; quello che non si riesce a sistemare in maniera soddisfacente è il significato che, con l'una o con l'altra, hanno gli edge cases: il diagramma vuoto è commutativo? Se sì perché? Se no perché? Un diagramma fatto da frecce che non si possono comporre, per esempio $n$ frecce parallele tra due oggetti, è commutativo? Se sì, perché? Se no, perché?
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