Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao, amici! Il manuale di algebra lineare che ho cominciato, lo Strang, dice che se, al termine dell'implementazione dell'algoritmo di eliminazione gaussiana su un sistema di $n$ equazioni lineari in $n$ incognite, si giunge ad avere $n$ elementi pivot non nulli, il sistema ha una ed una sola soluzione.
Mi sembra che, data la forma della matrice dei coefficienti al termine del processo, valga anche il viceversa, cioè che il sistema abbia una ed una ...
" In $R^3$ si consideri la sfera S: $x^3$+$y^2$+$z^2$+2x-y-2z=0
- Determinare un piano $\pi$ che intersechi la sfera S secondo una circonferenza C=S $nn$ $\pi$ di raggio 1/2
- Determinare le coordinate del centro della circonferenza C trovata al punto prima."
Prima di tutto ho completato i quadrati nella sfera, ottenendo: $(x+1)^2$+$(y-1/2)^2$+$(z-1)^2$=9/4
Il centro della sfera risulta ...
Let $p:E \rightarrow B$ a covering map; let $B$ be connected. Show that if $p^{-1}(b_0)$ has $k$ elements for some $b_0 \in B$ then $p^{-1}(b)$ has $k$ elements for every $b \in B$.
Poichè $p$ è un rivestimento esiste un intorno $I_{b_0}$ di $b_0$ che è evenly covered (non so come si dice in italiano XD) cioe esiste una famiglia di aperti disgiunti tali che $p^{-1}(I_{b_0})=\bigcup V_i$ e ...
Ciao, come faccio a determinarmi le soluzioni di questa equazione?
$\lambda^3$+$\lambda^2$+6$\lambda$-$\lambda$t-t+4
devo usare Ruffini? e i termini con la t?
P.S. devo studiare la diagonalizzabilità di una matrice, e come determinante del polinomio caratteristico mi esce questa equazione...ora come faccio a determinare gli autovalori? grazie
Salve ho un dubbio su quest'ultima cosa non capisco la differenza tra immagine e controimagine...o meglio finchè si tratta di punti è detto chiaro lo immagino come una funzione,ma appena si parla di curve il tutto è molto più oscuro,prendiamo una retta y=mx+q si vuole calcolare la sua immagine tramite un applicazione lineare... ora mi dispiace dirlo ma io lo faccio molto meccanicamente,ovvero se devo calcolare l'immagine faccio l'inversa dell'applicazione ecc.... se devo fare la controimmagine ...
DIre se esistono valori del parametro k in R per cui la retta r di equazioni:
$\{(kx+2y-2z=0),(x-y+3z=0):}$ giace sul piano $x-y-z+k=0$
Io so che una retta giace sul piano se il suo vettore direttore è perpendicolare al vettore del piano. Ma come posso usare questa condizione per trovare k?
Buongiorno a tutti!
Da giorni sto cercando di risolvere i miei problemi sugli esercizi riguardanti i sottospazi connessi in $R^n$, ma non riesco proprio a trovare un punto di partenza! Per quanto riguarda gli esercizi in $RR$, credo di non avere problemi, ma quando mi trovo ad affrontare quelli in $R^2$ o in $R^3$ non riesco a risolverli!
Vi scrivo il ragionamento che faccio nel primo caso:
1) ($RR$,N) N=topologia ...
TESTO
Si consideri la matrice:
$A=$$[[1,0,1],[1,0,1],[1,0,1]]$
i) Calcolare gli autovalori di A e, per ciascuno di essi, determinare molteplicità algebrica e geometrica.
ii) Determinare, se possibile, P$epsilon M_3 (RR)$ tale che $P^-1 * A * P $ sia una matrice diagonale
SVOLGIMENTO E BLOCCO
Risolvendo il punto i) ottengo che:
-il polinomio caratteristico è: $P(lambda)= -lambda^2 (lambda - 2)$
-$ lambda_1 = 0 $ , $ m_a ( lambda_1 ) = 2 $ e $ lambda_2 = 2 $ , $ m_a ( lambda_2 ) = 1 = m_g$$(lambda_2)$ .
Poi, ...
Ciao a tutti!
Stavo svolgendo il seguente sistema di geometria:
Calcolare la distanza tra il piano $\pi: x - 2y + z = 12$ e $\pi' : x - 2y + z = 6$
Prima di tutto ho voluto verificare che i due piani siano effettivamente paralleli. Per farlo ho trovato due metodi:
1) Verificare che il rango della matrice $ A= ((1, -2, 1),(1,-2,1)) $ sia uguale a 1; siccome $ rg A = 1$ i due piani sono paralleli;
Inoltre, ho voluto verificare se i due piani sono disgiunti oppure coincidenti. Per farlo ho verificato se il ...
Salve ragazzi,
sono da un bel po' alle prese con la tipologia di esercizio seguente e non so venirne a capo, per cui ho deciso di postare qui.
Il testo è il seguente:
Si consideri il sistema di equazioni lineari dipendente da un parametro \(\displaystyle \lambda \in R \) :
\begin{cases} 2x₁+(2\lambda + 2)x₂+x₃=-1\\ 2x₁ + x₂ + x₃ + \lambda x₄ = 0\\ 2x₁ +\lambda x₂+x₃+x₄=0 \\ x₁-3x₂+x₃+(\lambda +1)x₄=2\end{cases}
a) Detta \(\displaystyle (A|B) \) la matrice completa, determinare il rango di ...
E' corretto affermare che $det|A^TB|$ prodotto di due matrici rispettivamente $3x3$ e $3x2$ non esiste in quanto il risultato è una matrice sempre $3x2$? In generale non esiste mai il det di matrici non quadrate? O possiamo dire che è uguale a zero? Pensandoci se aggiungo una colonna di zeri a una matrice tre per due, non aggiugo nessuna informazione(cioè le matrici sono equivalenti?) ed il suo det è certamente zero..
L'es. mi fornisce anche le ...
Buongiorno mi sono trovato davanti al seguente esercizio:trovare l'eq del cono con vertice nell'origine tangente ad una sfera di centro $(1,1,1)$ e raggio 1. Mi è venuto in mente il seguente metodo... se considero una sfera di centro il vertice e raggio la distanza tra il vertice ed il centro della sfera,quest'ultima si intersecherà con la sfera e questa sarà proprio la curva direttrice del cono,a questo punto faccio i calcoli e vabbè mi viene fuori un eq un'pò incasinata... ...
non riesco a capire il seguente esercizio: nello spazio nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxyz sono dati il punto $ P=(0,3,1) $ e la retta $ r: {(x=t),(y=2+2t),(z=t):} $ .
Scrivere la retta S passante per P e ortogonale incidente ad r.
io avevo pensato di procedere così: trovo il piano k passante per p e con vettore normale quello direzionale della retta r ovvero $(1,2,1)$; dopodiché interseco r con il piano e mi trovo il punto p'.
a questo ...
salve a tutti.
trovo difficolà nell'affronatre gli esercizi sulle coniche..
mi aiutate?
si determini l'equazione del fascio di coniche individuato da una conica : $x^2+y^2-8x-8y=0$ e da una parabola tangente in$ A=(-3,1)$ alla circonferenza di raggio 1 e centro $(-3,2)$ avente come polare la retta $3x-3y-4=0$ del punto $(2,1,0)$
ho calcolato l'eq. della circonferenza ed è : $x^2+y^2+6x-4y+12=0$
ora dovrei trovare la parabola che soddisfi le condizioni ...
Ciao a tutti!
Sto ripetendo un po' di argomenti di algebra e geometria ma non ricordo la seguente cosa, mi aiutereste?
io so che, data una matrice a valori reali e quadrata, se è simmetrica è diagonalizzabile...e su questo non ci sarebbero dubbi.
Nel caso di matrici non simmetriche, invece, si può sapere se la matrice data è diagonalizzabile in una certa base se, calcolati gli autovalori e le corrispondenti molteplicità algebriche e geometriche, venga rispettata o meno una certa condizione e, ...
Ciao a tutti vorrei porvi una domanda..
Date le definizioni..
$ Def $ (Rango delle righe di A) Data una matrice A di tipo m*n, si de nisce rango
delle righe di A la dimensione dello spazio delle righe di A, ovvero il numero massimo di vettori
riga linearmente indipendenti contenuti in A.
$ De f $ (Rango delle colonne di A) Data una matrice A di tipo m*n, si de nisce rango
delle colonne di A la dimensione dello spazio delle colonne di A, ovvero il numero massimo di ...
dunque, ho necessità di calcolare la distanza minima di due rette nello spazio (ovviamente non sono parallele, ma le intendo sghembe).
Io utilizzo un algoritmo che ho trovato per deduzione, cioè: date le due rette \(\displaystyle r \) ed \(\displaystyle s \), trovo dei punti generici appartenenti dalle due rette del tipo \(\displaystyle P_r (x_0 + at, y_0+bt, z_0+ct) \) e \(\displaystyle P_s (x_1 + a^1 t, y_1 + b^1 t, z_1 + c^1 t) \), quindi utilizzo la formula della distanza fra due punti ...
Salve a tutti e scusatemi per eventuali errori ma è la prima volta che scrivo qui.
Tra pochi giorni ho l'esame di Matematica Discreta e per impegni lavorativi ho studiato poco e niente trovando difficoltà sull'argomento in oggetto.
in pratica non riesco a capire la procedura da eseguire per dimostrare se una matrice è diagonalizzabile.
Ad esempio :
$A = ((1,3,2),(-1,-3,1),(0,4,2))$
riesco ad arrivare fino al calcolo del determinante che, se i calcoli son corretti, dovrebbe essere
$ -6 + 8lambda - lambda^3$
da ...
Chi è cosi tanto gentile da spiegarmi come possono essere fatti questi esercizi (escluso il primo e il quarto)?
http://www.dma.unipi.it/Members/poletti ... -06-27.pdf
Grazie a chi risponderà!
Salve a tutti,
sono un nuovo iscritto, ho da sottoporre alla vostra attenzione un esercizio riguardante la parte di algebra lineare, ossia:
Sia f l'applicazione così definita: f: R^3 $->$ R^3, f(x) = x-3(x*u)u.
dove u = (1/$sqrt(2)$ , -1/$sqrt(2)$, 0) nella base canonica.
Scrivere l'espressione esplicita dell'endomorfismo e la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di R^3.
Dovrebbe uscire f( $x_1$ , $x_2$ , ...
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