Distanza tra due piani paralleli
Ciao a tutti!
Stavo svolgendo il seguente sistema di geometria:
Calcolare la distanza tra il piano $\pi: x - 2y + z = 12$ e $\pi' : x - 2y + z = 6$
Prima di tutto ho voluto verificare che i due piani siano effettivamente paralleli. Per farlo ho trovato due metodi:
1) Verificare che il rango della matrice $ A= ((1, -2, 1),(1,-2,1)) $ sia uguale a 1; siccome $ rg A = 1$ i due piani sono paralleli;
Inoltre, ho voluto verificare se i due piani sono disgiunti oppure coincidenti. Per farlo ho verificato se il rango della matrice
$ A'= ((1, -2, 1, -12),(1,-2,1, -6)) $ sia uguale a 2 (i piani sono paralleli disgiunti) oppure a 1 (i piani sono coincidenti). Siccome $rg A' = 2$ i due piani sono disgiunti.
2) Si può più facilmente verificare che i due piani sono paralleli se i coefficienti delle incognite delle due equazioni sono proporzionali, ovvero se $ (1, -2, 1) = k (1, -2, 1) -> k = 1$ ( i due piani sono paralleli); i due piani sono coincidenti invece se sono proporzionali i termini noti, ovvero se $ (-12) = k' (-6) -> k' = 2$. Siccome, al contrario del metodo usato precedentemente, i piani mi escono coincidenti, deve essere $ k = k'$ ?
Inoltre, supponendo che i due piani siano effettivamente paralleli, come posso calcolare la distanza tra i due piani?
Spero nel vostro aiuto anche se ultimamente nessuno risponde più ai miei post ! Sarà sfortuna
Grazie a tutti in anticipo!
Stavo svolgendo il seguente sistema di geometria:
Calcolare la distanza tra il piano $\pi: x - 2y + z = 12$ e $\pi' : x - 2y + z = 6$
Prima di tutto ho voluto verificare che i due piani siano effettivamente paralleli. Per farlo ho trovato due metodi:
1) Verificare che il rango della matrice $ A= ((1, -2, 1),(1,-2,1)) $ sia uguale a 1; siccome $ rg A = 1$ i due piani sono paralleli;
Inoltre, ho voluto verificare se i due piani sono disgiunti oppure coincidenti. Per farlo ho verificato se il rango della matrice
$ A'= ((1, -2, 1, -12),(1,-2,1, -6)) $ sia uguale a 2 (i piani sono paralleli disgiunti) oppure a 1 (i piani sono coincidenti). Siccome $rg A' = 2$ i due piani sono disgiunti.
2) Si può più facilmente verificare che i due piani sono paralleli se i coefficienti delle incognite delle due equazioni sono proporzionali, ovvero se $ (1, -2, 1) = k (1, -2, 1) -> k = 1$ ( i due piani sono paralleli); i due piani sono coincidenti invece se sono proporzionali i termini noti, ovvero se $ (-12) = k' (-6) -> k' = 2$. Siccome, al contrario del metodo usato precedentemente, i piani mi escono coincidenti, deve essere $ k = k'$ ?
Inoltre, supponendo che i due piani siano effettivamente paralleli, come posso calcolare la distanza tra i due piani?
Spero nel vostro aiuto anche se ultimamente nessuno risponde più ai miei post ! Sarà sfortuna
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
$\pi: x - 2y + z = 12$ e $\pi' : x - 2y + z = 6$
Per trovare la distanza tra i due piani direi che potresti procedere così: sai che i due piani sono paralleli e il vettore $n = (1, -2, 1)$ è ortogonale ad entrambi. $||n|| = sqrt(6)$.
$1/sqrt(6) ( x - 2y + z ) = 12/sqrt(6) = d(O, \pi)$
$1/sqrt(6) ( x - 2y + z ) = 6/sqrt(6) = d(O, \pi')$
Quindi $d(\pi , \pi') = (12 - 6 )/sqrt(6) = 6/sqrt(6)$.
Che ne dici?
Per trovare la distanza tra i due piani direi che potresti procedere così: sai che i due piani sono paralleli e il vettore $n = (1, -2, 1)$ è ortogonale ad entrambi. $||n|| = sqrt(6)$.
$1/sqrt(6) ( x - 2y + z ) = 12/sqrt(6) = d(O, \pi)$
$1/sqrt(6) ( x - 2y + z ) = 6/sqrt(6) = d(O, \pi')$
Quindi $d(\pi , \pi') = (12 - 6 )/sqrt(6) = 6/sqrt(6)$.
Che ne dici?
Potresti spiegarmi perché il vettore $ n = (1, -2, 1) $ è ortogonale al piano e se ho commesso qualche errore nel determinare la coincidenza o meno dei due piani? Grazie mille per la risposta!
PS. Per trovare un vettore perpendicolare al vettore direttore della retta $\pi$ che in forma vettoriale è uguale a:
$((x),(y),(z)) = ((12), (0), (0)) + t ((-1), (0), (1)) + s ((2), (1), (0)) $
non si poteva utilizzare, per esempio, il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt?
PS. Per trovare un vettore perpendicolare al vettore direttore della retta $\pi$ che in forma vettoriale è uguale a:
$((x),(y),(z)) = ((12), (0), (0)) + t ((-1), (0), (1)) + s ((2), (1), (0)) $
non si poteva utilizzare, per esempio, il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt?
sennò un altro metodo fai una retta ortogonale passante per un punto a tuo piacimento che appartiene a uno dei due piani quindi trovi i due punti di intersezione...a quel punto fai la distanza tra i due punti
Beh, implicitamente hai usato l'ortogonalità di $\bb{n}$ rispetto al piano per dimostrare il primo punto.
Data l'equazione di un piano $pi : a x + b y + c z = d$ il vettore $\bb{n} = (a,b,c)$ è sempre ortogonale a $pi$. Infatti la giacitura di $pi$ ha come equazione cartesiana $a x + b y + c z = 0$ che si può scrivere come il prodotto scalare $\bb{n} \cdot \bb{X} = 0$. Questo vuol dire che $\bb{X} \in "giac"(\pi)$ se e solo se $\bb{n}$ ed $X$ sono ortogonali ( $\bb{n} \cdot \bb{X} = 0$ ). Quindi $< \bb{n} >^(\bot) = "giac" (\pi)$.
Allora i due piani che hai scritto hanno la stessa giacitura (sono paralleli) se e solo se $\bb{n}$ ed $\bb{n}'$ (i vettori dei coefficienti di $x,y,z$ nelle due equazioni) sono proporzionali, cioè, nello specifico, se e solo se
Data l'equazione di un piano $pi : a x + b y + c z = d$ il vettore $\bb{n} = (a,b,c)$ è sempre ortogonale a $pi$. Infatti la giacitura di $pi$ ha come equazione cartesiana $a x + b y + c z = 0$ che si può scrivere come il prodotto scalare $\bb{n} \cdot \bb{X} = 0$. Questo vuol dire che $\bb{X} \in "giac"(\pi)$ se e solo se $\bb{n}$ ed $X$ sono ortogonali ( $\bb{n} \cdot \bb{X} = 0$ ). Quindi $< \bb{n} >^(\bot) = "giac" (\pi)$.
Allora i due piani che hai scritto hanno la stessa giacitura (sono paralleli) se e solo se $\bb{n}$ ed $\bb{n}'$ (i vettori dei coefficienti di $x,y,z$ nelle due equazioni) sono proporzionali, cioè, nello specifico, se e solo se
"daniele91":
[...] il rango della matrice $ A= ((1, -2, 1),(1,-2,1)) $ sia uguale a 1;
Grazie ad entrambi per le risposte! Ora mi è molto più chiaro il metodo con il rango che ho utilizzato. Per quanto riguarda la coincidenza invece? Dov'è il mio errore? Anche i termini noti sono proporzionali tra loro, dunque i piani dovrebbero essere coincidenti. Ma ciò non è vero altrimenti la matrice $A'$ dovrebbe avere rango uguale all'unità...
"daniele91":
[...] il rango della matrice
$ A'= ((1, -2, 1, -12),(1,-2,1, -6)) $ sia uguale a 2 (i piani sono paralleli disgiunti) oppure a 1 (i piani sono coincidenti). Siccome $rg A' = 2$ i due piani sono disgiunti.
Questo va benissimo. Richiedere che quella matrice sia di rango 1 significa che tutti i coefficienti della prima equazione compreso il termine noto devono essere proporzionali ai coefficienti dell'altra equazione (cioè puoi ottenere la prima equazione moltiplicando ambo i membri della seconda equazione per una costante).
"daniele91":
i due piani sono coincidenti invece se sono proporzionali i termini noti, ovvero se $ (-12) = k' (-6) -> k' = 2$. Siccome, al contrario del metodo usato precedentemente, i piani mi escono coincidenti, deve essere $ k = k'$ ?
Quindi ne devo dedurre che il secondo metoto che ho scritto è sbagliato? Perché anche i coefficienti dei termini noti sono proporzionali tra loro, e dunque i due piani sarebbero coincidenti. O è meglio utilizzare in generale il primo metodo? Non vorrei risultasse più complicato e più lungo da usare visto che all'esame abbiamo pochissimo tempo per svolgere gli esercizi.
Grazie ancora dell'aiuto! Mi è molto prezioso.
a occhio correggimi se sbaglio seneca più corretto sarebbe pigliare quella matrice e considerare due matrici una un vettore colonna del termine noto e quella 2x3 a sto punto dici se rango della 2x3 è 1 i piani sono paralleli poi consideri tutta la matrice e dici se il rango della matrice completa è uguale a rango della 2x3 allora sono coincidenti viceversa se è 2 sono paralleli non coincidenti...TERRA TERRA io direi quella matrice c'hai buttato dentro i coeff del piano,quindi visto che se moltiplichi a dx e sx l'eq di un piano ottieni la stesso piano se la riga 2 i multipla della prima(quindi hai rango 1) hai lo stesso piano.
@daniele91: sì, quel tuo secondo metodo è evidentemente sbagliato.
@psycho92: il tuo post mi risulta abbastanza incomprensibile.
@psycho92: il tuo post mi risulta abbastanza incomprensibile.
normale che tu non capisca...
Un'altra domanda: se invece dovessi calcolare la distanza tra due rette nello spazio verificandone prima il parallelismo/la coincidenza?
Ad esempio, ho due rette le cui equazioni parametriche sono:
$ r: { ( x = 1-t ),( y = -1 + 3t ),( z = -t ):} $
$ s: { ( x = 2 + t ),( y = t ),( z = 1-t ):} $
Come posso procedere in questo caso? Nel caso di due rette nel piano è facile constatare se sono parallele o meno perché basta verificare la proporzionalità dei vettori direttori, oppure farne l'intersezione verificando che il sistema esce impossibile (e che dunque non ci sono intersezioni. Nello spazio però non avrebbe senso farne l'intersezione perché le rette oltre ad essere parallele possono essere anche sghembe.
Potrei, per esempio, ricavarmi un punto appartenente alla retta $r$, ad esempio, il punto $ P (1, -1, 0) $ ed utilizzare lo stesso metodo descritto in questo post? distanza-punto-retta-t99824.html
Grazie!
Ad esempio, ho due rette le cui equazioni parametriche sono:
$ r: { ( x = 1-t ),( y = -1 + 3t ),( z = -t ):} $
$ s: { ( x = 2 + t ),( y = t ),( z = 1-t ):} $
Come posso procedere in questo caso? Nel caso di due rette nel piano è facile constatare se sono parallele o meno perché basta verificare la proporzionalità dei vettori direttori, oppure farne l'intersezione verificando che il sistema esce impossibile (e che dunque non ci sono intersezioni. Nello spazio però non avrebbe senso farne l'intersezione perché le rette oltre ad essere parallele possono essere anche sghembe.
Potrei, per esempio, ricavarmi un punto appartenente alla retta $r$, ad esempio, il punto $ P (1, -1, 0) $ ed utilizzare lo stesso metodo descritto in questo post? distanza-punto-retta-t99824.html
Grazie!
Scusate, ho provato a rifare l'esercizio come aveva detto psycho92, ovvero individuando un punto appartenente ad un piano e facendo l'intersezione della retta passante per il punto medesimo e che incide il secondo piano.
Per spiegarmi meglio, posto l'intero procedimento.
Il piano $\pi $ si può scrivere anche come:
$((x),(y),(z)) = ((12),(0),(0)) + t ((2),(1), (0)) + s ((-1), (0), (1))$
da qui è evidente che un punto appartenente a $\pi$ è il punto $ P (12, 0, 0)$.
La retta passante per $P$ ha il vettore direttore uguale al vettore $n (1, -2, 1)$ ortogonale ai piani ed equazione:
$((x),(y),(z)) = ((12),(0),(0)) + t ((1),(-2), (1))$
che corrisponde alle equazioni:
${ ( x = 12 + t ),( y = -2t),( z = t):}$.
Calcolo l'intersezione tra la retta e il piano $\pi_2$:
${ (x - 2y + z = 6),( x = 12 + t ),( y = -2t),( z = t):}$
Da cui ricavo:
${ (t=3), (x= 15), (y=-6), (z=3):}$
Il punto di incidenza tra la retta e il piano è $ P' (15, -6, 3)$.
Adesso, basta calcolare $ || P P' || = || (3, -6, 3) || = sqrt (54)$ che ovviamente differisce dalla soluzione proposta da Seneca. Dove è che sbaglio? Grazie!
Per spiegarmi meglio, posto l'intero procedimento.
Il piano $\pi $ si può scrivere anche come:
$((x),(y),(z)) = ((12),(0),(0)) + t ((2),(1), (0)) + s ((-1), (0), (1))$
da qui è evidente che un punto appartenente a $\pi$ è il punto $ P (12, 0, 0)$.
La retta passante per $P$ ha il vettore direttore uguale al vettore $n (1, -2, 1)$ ortogonale ai piani ed equazione:
$((x),(y),(z)) = ((12),(0),(0)) + t ((1),(-2), (1))$
che corrisponde alle equazioni:
${ ( x = 12 + t ),( y = -2t),( z = t):}$.
Calcolo l'intersezione tra la retta e il piano $\pi_2$:
${ (x - 2y + z = 6),( x = 12 + t ),( y = -2t),( z = t):}$
Da cui ricavo:
${ (t=3), (x= 15), (y=-6), (z=3):}$
Il punto di incidenza tra la retta e il piano è $ P' (15, -6, 3)$.
Adesso, basta calcolare $ || P P' || = || (3, -6, 3) || = sqrt (54)$ che ovviamente differisce dalla soluzione proposta da Seneca. Dove è che sbaglio? Grazie!
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