Equazione del piano passante per la retta
Si determini l'equazione del piano passante per r e perpendicolare al piano contenente le rette r ed s
$ r:{ ( y+2z+2=0 ),( x-3z-2=0 ):} $
$ s:{ ( x=6t ),( y=-4t+1 ),( z=2t ):} $
Procedimento di risoluzione:
vado ad individuare il fascio di piano che contiene le due rette, prendendo in considerazione la retta r per prima, quindi
$ F(r) : y+2z+2+K(x-3z-2)=0 $
individuato K, mediante il punto $ P in s $ cioè $ P(0,1,0) $
il piano $ α:kx+y+z(-3k+2)=0 $ con vettore direttore $ v(α)(3/2,1,-5/2) $
adesso ciò che non riesco a capire è come trovare il punto $ P∈r $ e il suo vettore direttore, visto che lo step successivo dovrebbe essere quello di individuare il piano perpendicolare al piano, quindi $ v(α) ⫠ v(F(r)) $
$ r:{ ( y+2z+2=0 ),( x-3z-2=0 ):} $
$ s:{ ( x=6t ),( y=-4t+1 ),( z=2t ):} $
Procedimento di risoluzione:
vado ad individuare il fascio di piano che contiene le due rette, prendendo in considerazione la retta r per prima, quindi
$ F(r) : y+2z+2+K(x-3z-2)=0 $
individuato K, mediante il punto $ P in s $ cioè $ P(0,1,0) $
il piano $ α:kx+y+z(-3k+2)=0 $ con vettore direttore $ v(α)(3/2,1,-5/2) $
adesso ciò che non riesco a capire è come trovare il punto $ P∈r $ e il suo vettore direttore, visto che lo step successivo dovrebbe essere quello di individuare il piano perpendicolare al piano, quindi $ v(α) ⫠ v(F(r)) $
Risposte
Non mi è ben chiaro cosa tu abbia fatto ad un certo punto. Ok il fascio di piani passante per $r$, ok usare un punto di $s$, dovresti dunque trovare:
$1+2+K(-2)=0\to K=3/2 \to \alpha: 3/2 x +y -5/2 z -1=0\to 3x +2y-5z-2=0$ e questo è il piano passante per le rette date.
Ora, un vettore normale a tale piano è $v_1=(3,2,-5)$ (ho usato i coefficienti delle variabili). Inoltre il piano che cerchiamo ($\beta$) contiene $r$, quindi ti basterà trovare il vettore direzione di $r$ (chiamiamolo $v_2$) ed infine costruire le equazioni parametriche di $\beta$ usando i vettori direzione $v_1,v_2$ e come punto di passaggio uno qualunque di $r$.
Paola
$1+2+K(-2)=0\to K=3/2 \to \alpha: 3/2 x +y -5/2 z -1=0\to 3x +2y-5z-2=0$ e questo è il piano passante per le rette date.
Ora, un vettore normale a tale piano è $v_1=(3,2,-5)$ (ho usato i coefficienti delle variabili). Inoltre il piano che cerchiamo ($\beta$) contiene $r$, quindi ti basterà trovare il vettore direzione di $r$ (chiamiamolo $v_2$) ed infine costruire le equazioni parametriche di $\beta$ usando i vettori direzione $v_1,v_2$ e come punto di passaggio uno qualunque di $r$.
Paola
non ho capito bene come procedere alla costruzione delle equazioni parametriche di $ β $ mediante i vettori $ v1,v2 $
quelli di $ v2 $ sono $ (3,-2,1) $ di $ v1 $ sono sempre $ (3,-2,1) $
quelli di $ v2 $ sono $ (3,-2,1) $ di $ v1 $ sono sempre $ (3,-2,1) $
$v_1$ è quello che ho detto io. $v_2=(3,-2,1)$.
Le equazioni parametriche saranno
$((x),(y),(z))=t v_1 + kv_2 + P$ dove $t,k$ sono i parametri, $P$ è un punto arbitrario di $r$ da te scelto.
Sostituisci i numeri semplicemente.
Paola
Le equazioni parametriche saranno
$((x),(y),(z))=t v_1 + kv_2 + P$ dove $t,k$ sono i parametri, $P$ è un punto arbitrario di $r$ da te scelto.
Sostituisci i numeri semplicemente.
Paola
ma come punto di $r$ va bene $(2,-2,0)$?
Sostituendo le coordinate di quel punto nella forma cartesiana di $ r $ ti accorgi che va bene.
Si hai ragione, $v_1$ è quello che mi hai detto tu, ho sbagliato a ricopiare dai miei appunti...quindi, cio che ne vien fuori dovrebbe essere questo
$det [( ( x-2 , y+2 , z ),( 3 , 2 , -5 ),( 3 , -2 , 1 ) )] = 8x+18y+12z+12$
Ho sbagliato qualcosa?
$det [( ( x-2 , y+2 , z ),( 3 , 2 , -5 ),( 3 , -2 , 1 ) )] = 8x+18y+12z+12$
Ho sbagliato qualcosa?
spero non mi banniate...sono solo un povero disperato 4 giorni prima di un esame 
L'equazione giusta è :
\(\displaystyle 8x+18y+12z+20=0 \) ,oppure semplificando :
(0) \(\displaystyle 4x+9y+6z+10=0 \)
Forse è una questione di gusti ,ma personalmente per giungere a quel risultato avrei evitato il doppio parametro. Precisamente avrei semplificato come segue. Hai già trovato l'equazione del piano che contiene le rette r ed s :
(1) \(\displaystyle 3x+2y-5z-2=0 \)
Hai anche già trovato l'equazione del fascio di piani di asse la retta r :
(2) \(\displaystyle kx+y+(-3k+2)z+(-2k+2)=0\)
Imponendo la perpendicolarità tra i piani (1 ) e (2) si ha:
\(\displaystyle 3k+2-5(-3k+2)=0 \)
Da cui \(\displaystyle k=\frac{4}{9} \) e sostituendo tale valore di k nella (2) si ottiene appunto la (0).
\(\displaystyle 8x+18y+12z+20=0 \) ,oppure semplificando :
(0) \(\displaystyle 4x+9y+6z+10=0 \)
Forse è una questione di gusti ,ma personalmente per giungere a quel risultato avrei evitato il doppio parametro. Precisamente avrei semplificato come segue. Hai già trovato l'equazione del piano che contiene le rette r ed s :
(1) \(\displaystyle 3x+2y-5z-2=0 \)
Hai anche già trovato l'equazione del fascio di piani di asse la retta r :
(2) \(\displaystyle kx+y+(-3k+2)z+(-2k+2)=0\)
Imponendo la perpendicolarità tra i piani (1 ) e (2) si ha:
\(\displaystyle 3k+2-5(-3k+2)=0 \)
Da cui \(\displaystyle k=\frac{4}{9} \) e sostituendo tale valore di k nella (2) si ottiene appunto la (0).
io ho trovato un altro metodo...posto un immagine così faccio prima
comunque sostanzialmente ho anche io risolto usando il tuo procedimento...ho soltanto imposto la perpendicolarità tra i piani con qualche passaggio in più
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