Applicazione e studio diagonalizzazione
sia $R2,2$ lo sapzio delle matrici reali di ordine 2 si dica se l'applicazione
$f$ tale che $f(A)=PAP^(-1)$ per ogni $A$ in $R2,2$ dove $P=((0,1),(-1,0))$
a)è lineare.
b) la matrice associata ad $f$ rispetto la base canonica
c)una base del nucleo, dell'immagine e si dica se f è iniettiva o suriettiva.
d)trovare $f^(-1)((0,1),(-1,0))$
e) studiare la diagonalizzabilità di $f$.
f)verificare che la restrizione $g$ di $f$ al sottospazio $W$ di $R2,2$ delle matrici simmetriche è un endomorfismo.
g)determinare $g^(-1)$.
i punti incompressibili che non riesco proprio sono gli ultimi tre...
voi cosa mi consigliereste per impostarli?
$f$ tale che $f(A)=PAP^(-1)$ per ogni $A$ in $R2,2$ dove $P=((0,1),(-1,0))$
a)è lineare.
b) la matrice associata ad $f$ rispetto la base canonica
c)una base del nucleo, dell'immagine e si dica se f è iniettiva o suriettiva.
d)trovare $f^(-1)((0,1),(-1,0))$
e) studiare la diagonalizzabilità di $f$.
f)verificare che la restrizione $g$ di $f$ al sottospazio $W$ di $R2,2$ delle matrici simmetriche è un endomorfismo.
g)determinare $g^(-1)$.
i punti incompressibili che non riesco proprio sono gli ultimi tre...
voi cosa mi consigliereste per impostarli?
Risposte
Come hai trovato la matrice dell'endomorfismo? Io farei così: ponendo \[\displaystyle e_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad e_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]
\[\displaystyle e_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad e_{4}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] puoi considerare le matrici alla stregua di veri e propri vettori comunemente intesi. Per esempio \[\displaystyle v=2e_{1}+3e_{3}-e_{4}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
E facilmente, adottando questa "convenzione", si ottiene la matrice \(\displaystyle A \) dell'endomorfismo, che risulta essere \[\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Con questa puoi rispondere a tutte le richieste fino alla (e). Il punto (f) non mi sembra troppo arduo: devi soltanto provare che \(\displaystyle g:S\subset \mathbb{R}_{2, 2} \to S \) * è lineare.
________________________________________
* \(\displaystyle S=\{M \in \mathbb{R}_{2,2} \ | \ a_{i,j}=a_{j,i} \ \text{per} \ 1\le i,j \le n, \ i\ne j \} \)
\[\displaystyle e_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad e_{4}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] puoi considerare le matrici alla stregua di veri e propri vettori comunemente intesi. Per esempio \[\displaystyle v=2e_{1}+3e_{3}-e_{4}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
E facilmente, adottando questa "convenzione", si ottiene la matrice \(\displaystyle A \) dell'endomorfismo, che risulta essere \[\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Con questa puoi rispondere a tutte le richieste fino alla (e). Il punto (f) non mi sembra troppo arduo: devi soltanto provare che \(\displaystyle g:S\subset \mathbb{R}_{2, 2} \to S \) * è lineare.
________________________________________
* \(\displaystyle S=\{M \in \mathbb{R}_{2,2} \ | \ a_{i,j}=a_{j,i} \ \text{per} \ 1\le i,j \le n, \ i\ne j \} \)
scusa ma qule vettore v come si trova???
non capisco cosa intendi per matrici alla stregua di veri e propri vettori comunemente intesi.
non capisco cosa intendi per matrici alla stregua di veri e propri vettori comunemente intesi.
"marixg":
[...] non capisco cosa intendi per matrici alla stregua di veri e propri vettori comunemente intesi.
Esattamente quello che ho scritto, "semplici colonne di numeri" ( - tutto questo a livello estremamente intuitivo). Ho fatto anche un esempio...
come devo procedere...potresti spiegarmi meglio perchè non sto capendo nulla:(
scusa
scusa
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