Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti!!
Avrei bisogno di una mano con un esercizio di Topologia generale che dice:
In $ mathbb(R^3) $ munito della topologia euclidea si considerino i sottospazi:
X1= {(x,y,z) $ in mathbb(R^3) $ | $ x^2+(y-2)^2-4(z+1)^2=1 , |z|<= 3 $ } ;
X2= {(x,y,z) $ in mathbb(R^3) $ | $ x^2+(y-2)^2-4(z+1)^2=0 , -3<= z<= 3 $ } ;
X3 la superficie ottenuta dalla rotazione del disco D={(x,y,z) $ in mathbb(R^3) $ | $ (x-2)^2+z^2=1 , y=0 $ } intorno all'asse z;
X4= la superficie unione di X3 con la sfera di centro il punto (4, 0, 0) e raggio 1 ...
Ragazzi dovrei trovare le equazioni cartesiane di una retta t simmetrica della retta r quest ultima passante per $ P-= (-1,2,1) $ e avente direzione $ W=(-2,1,3) $ , rispetto al piano $ pi:-3x+2y+z=2 $ . Avevo pensato di trovare il simmetrico di P e poi far passare la retta per questo punto, ma non conosco la direzione della retta! Quindi come faccio?
Grazie a tutti per i suggerimenti!

Ciao, vi sottopongo un quesito relativo alla necessità, da parte del mio testo di algebra, di enunciare e dimostrare un corollario ad un teorema di algebra matriciale.
Il teorema enunciato è il seguente:
"Sia n la caratteristica di una matrice A di tipo (p,q). Le n righe che servono a formare un minore B di A di ordine n avente determinante non nullo sono linearmente indipendenti, mentre ogni altra riga di A è combinazione lineare di esse. Analogamente per le colonne". Segue una semplice ...

Quante parametrizzazioni regolari esistono del cilindro e della sfera ?
Se ne esiste una sola, perché ?
Grazie.

Sia $X \in M(n,\mathbb{R})$, una matrice $n \times n$ a entrate reali. Quante soluzioni ha l'equazione $X^2=1$ ?
E se $ X \in M(n,\mathbb{C})$ ?

Salve a tutti,
il 1° Criterio di diagonalizzazione è davvero semplice nel dimostrarlo, ma nel mio libro proprio nn riesco a capire come dimostra(re) questo teorema (2° Criterio di diagonalizzazione):
siano dati \( f \in End_K(E) \), ed \( a_1,a_2,...,a_r \in sp(f) \), ove \( a_1,a_2,...,a_r \) sono distinti, allora $$ f \mbox{ è diagonalizzabile } \leftrightarrow E=E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f\doteq E_{a_1}^f \oplus E_{a_2}^f \oplus...\oplus ...

Salve a tutti,
ho dubbio probabilmente molto stupido a proposito di un problema molto comune: il calcolo della superficie laterale di un cono... E' fatto noto che il cono è un solido di rotazione ottenibile dalla rotazione di $360°$ di un triangolo rettangolo (poniamo di base $AB$ e ipotenusa $AC$) attorno a un cateto (nel nostro caso $BC$) e che la sua superficie laterale misura $S=pira$ (dove $r$ e ...

Ho questa matrice di cui voglio studiare la diagonalizzabilità in funzione del parametro $a$. Come si può semplicemente verificare, se si procede al calcolo del determinate mediante Laplace si hanno dei conti molto lunghi ed è facile commettere errori di calcolo. Qualcuno vede un modo per semplificare i conti? Trattasi di un esercizio d'esame per cui avrebbe poco senso assegnare una matrice il cui calcolo del determinante risulta molto lungo ed è molto probabile che con un qualche ...

Buongiorno a tutti Ho provato a risolvere il seguente integrale, ma ottengo calcoli che non riesco a svolgere, neanche con opportune sostituzioni.
Ho applicato il II teorema di Guldino, ma forse ci sono altre vie. La traccia dell'esercizio è la seguente:
- si consideri la superficie S, ottenuta facendo ruotare di 2π intorno all'asse z la curva del piano xz di equazione
γ : z = x/2 +(x-1)(e^2x) , con x compresa tra 0 e 1
- calcolare l'area di S parametrizzando la superficie.
Ho ...

Ciao, non riesco a svolgere questi esercizi, potreste darmi una mano?
k reale,
A= $((-1, 2k+1, 1), (0, k, 0), (-k-1, 2k+1, k+1))$
stabilire per quali valori la matrice è diagonalizzabile e trovare una base di autovettori.
Data la quadrica Qk: $k*x^2+2xy+2z =0$
classifica al variare di k la quadrica.
trova, se esistono, i valori di k per cui il punto P = (-1,0,-1) appartiene alla quadrica, e per tali valori scrivi l'equazione del piano tangente alla quadrica nel punto P.
poni k =3 e verifica che la retta r di ...

Ciao a tutti! avrei un problema di geometria che non riesco a risolvere... lo posto di seguito sperando in una vostra risposta
trova le equazioni delle sfere tangenti in $T(1,1,2)$ al piano $alpha: x+2y-2z+1=0$ e aventi centro sul piano $beta: x+y+z=10$
io ho pensato di farmi la distanza tra T e $beta$ per trovare il raggio, e poi trovare la retta perpendicolare al piano $alpha$ passante per T, intersecarla con il piano $beta$ e trovare le coordinate del ...

Salve, come da titolo credo di non aver ancora afferrato il concetto di parallelismo e complanarità di due rette nello spazio.
Esempio. Ho due rette con Parametri di direzione : ( k-2, 1-k, 1) e (2, -4, 2). Per essere parallele impongo la seguente condizione :
$ | ( k-2, 1-k , 1 ),( 2 , -4 , 2 ) | $ =0
Facendo i conti viene K =3. E' corretto questo modo di procedere?
Se invece volessi verificare che le stesse due rette sono complanari come dovrei procedere? Ricordo vagamente l'esistenza di una formula analoga a ...

Buongiorno a tutti
Se qualcuno è cosi paziente da rispondermi, vi posto un esercizio che non sono riuscita a fare
sia $ A:( ( 0 , -1 , 1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 , -1 ),( 1 , 1 , 2 , 2 ) ) $ la matrice associata, rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo, ad $L_(A): R^4 -> R^3$
determina un sottospazio di $R^3$ che sia in somma diretta con $ Span(L_(A)(1,0,1,0)^T , L_(A)(0,1,-1,0)^T )$
allora io so che due spazi sono in somma diretta se l'intersezione è costituita dal solo vettore nullo.. ma stupidamente non ho la più pallida idea di come si possa ...

Sia $ f:R^2rarr R^2 $ e sia $A$ la matrice associata, $ A=( ( 0 , 1 ),(-1 , 0 ) ) $ , cioè la rotazione di $ pi /2 $ in senso orario. Devo verificare che l'endomorfismo non è triangolarizzabile.
Ora se un endomorfismo è triangolarizzabile vuol dire che avrà una base rispetto a cui la matrice associata sarà triangolare superiore. Inoltre si può dimostrare che se tale matrice esiste sarà simile ad $A$, ma se è simile ad $A$ avrà gli stessi autovalori. ...

Buonasera a tutti, sono un nuovo iscritto in questo forum che seguo già da tempo, sto preparando l'esame di geometria (che dovrò sostenere la prossima settimana ) e ho qualche dubbio su alcune tipologie di esercizi di geometria, di seguito scriverò le consegne e vi dirò il ragionamento che ho seguito, anche se i risultati non mi vengono, quindi deve esserci qualcosa di sbagliato.
1) Calcocare la distanza tra il punto \(\displaystyle P≡[-1, 2, 0, 1] \) e la proiezione ortogonale dell'asse ...

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio, ma ad un certo punto credo ci sia un errore che non riesco a trovare, qualcuno può aiutarmi per favore?
"Siamo in $RR^4$, abbiamo due sottospazi:
H={ (x,y,z,t) | x+2y = 2t=0}
K = $((1,2,0,1,1),(2,4,0,2,-1),(0,-1,1,4,0),(1,1,1,5,5))$
1. Trovare base e dimensione di K e H;
2. Trovare base e dimensione di (H+K) e $HnnK$;
3. Dire se il vettore (1,2,3,4) appartiene a H+K, in caso affermativo decomporlo come somma di un vettore di H e K. "
Ho ...

Buongiorno a tutti,
avrei il seguente problema:
L'esercizio mi chiede di trovare gli assi e i diametri della seguente conica: x^2 + 2y^2 - z^2 - 4x + 2y - 4xy = 0
Ho cercato dappertutto in internet e sugli appunti del mio professore ma non ho trovato nulla che mi abbia dato una mano a proseguire l'esercizio.
Dunque vi chiedo se potete darmi una mano a risolverlo... O almeno solo ad avviarmi verso una soluzione...
Grazie mille in anticipo a coloro che risponderanno.

Salve a tutti,
Come faccio a calcolare le coordinate di un vertice nota l'area e gli altri due vertici del triangolo?
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Determinare tutti i punti $Rin r$ e tali che l'area del triangolo $T_R$ un triangolo avente come vertici i punti $A,B,R$ sia $3/2$.
La retta $r$ ha equazione parametrica:
$\{(x=t),(y=t),(z=1+t):}$
$A = (1,0,0)$
$B = (0,1,0)$
Ho ricavato l'equazione di una retta ...

Salve a tutti,
volevo avere conferma se questo lemma è scritto giusto:
Mi pongo il problema perché un prodotto scalare è una forma bilineare "simmetrica" definita positiva... ergo se per ipotesi ho un prodotto scalare allora è banale come dimostrazione (mi sembra privo di senso a dire il vero)!
Ringrazio anticipatamente!
P.S.= \(f \) è preso in \( End_K(V) \), ho verificato nelle slides precedenti ed il prodotto scalare è una forma bilineare "simmetrica" definita positiva... non capisco ...

Ciao a tutti
ho un problemino con un esercizio, il testo mi pone in un riferimento nello spazio $R =(0; x, y; z)$
mi viene data una retta e un piano, entrambi in forma cartesiana, chiedendo la proiezione ortogonale della retta data sul piano
io avevo letto che era necessario trasformare la retta in parametrica e intersecarla con il piano che dipende dall'incognita a cui ho assegnato il parametro. mi spiego meglio, se nella forma parametrica della retta assegno il parametro t alla variabile z, ...